Ответы на экзаменационные вопросы № 1-56 по курсу "Высшая математика" (Предел последовательности. Свойства пределов. Поверхности 2-го порядка. Конус)

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

Это означает:

- функция определена в точке х0 и в ее окрестности;

- функция имеет предел при х→х0

- предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство.

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х0

8 1 замечательный предел и др. замечательные пределы:

1 замечательный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла MOB  через Х.

Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все на и получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

2 замечательный предел.

Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

Если x→∞, то n→∞, тогда

По признаку о существовании пределов:

9 Классификация точек разрыва:

Точки разрыва функции – это точки в которых нарушается непрерывность функции.

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы)

 и

При этом, если:

- А12 то точка х0 называется точкой устранимого разрыва;

- А1≠А2 то точка х0 называется точкой конечного разрыва.

|A1 – A2| называется скачком функции.

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует, либо равен бесконечности.

10 Производная геометрический смысл производной:

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx

Dx®0          Dx®0

Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y`  Dx®0

1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1.

2) если y=x2, Dy=(x+Dx)2-x2=x2+2xDx+Dx2-x2=Dx(2x-Dx),

(x2)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x

x®0                            Dx®0

Геометрический смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0

tga0=y`

11 Дифференцируемость функции:

Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x) ).

Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Теорема- для того чтобы ф-ия f(x) имела в точке а конечную производную необходимо и достаточно чтобы она была дифференцируема в этой точке.

12 Правило дифференцирования

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Таблица производных:

13 Производная обратной ф-ии

Если ф-ия y=f(x) монотонно возр.(уб.) некоторые окрестности точки x0, то в окрест. точки y0=f(x0) опред. обратная функция  x=f-1(y)

Пусть функция y=f(x) монотонно возрастает (убывает) в окрестности точки x0 и непрерывна, тогда если y=f(x) дифференцируема в точке x0 и производная в точке x0 не равна 0, то в окрестности точки y0 существует обратная функция, которая дифференц. в точке y0 и ее производная x’(y0)=1/y’(x0)

14. Дифференцирование сложных ф-ций:

Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y`=f(x)*U`,или yx`=yU`*Ux`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx

Например:

15.Формула Лейбница. n-ая производная:

16.Теорема «локальная ограниченность функции имеющей конечный предел»

Т. – если ф-ия f(x) имеет в точке а конечный предел b то в окрестности а найдется некоторая окрестность точки а в пределе которой ф-ия f(x) ограничена

17.Теорема о сохранении знака о неприрывной ф-ии:

Пусть ф-ия f(x) непрерывна в точке а и f(a) <>0  тогда найдется

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Ответы на экзаменационные билеты
Размер файла:
990 Kb
Скачали:
0