Проблемы создания медицинских систем и комплексов, страница 7

В настоящее время известно довольно много подходов к математическому описанию, много типов математических моделей механики сердца и сердечной мышцы. По-видимому, наиболее общим из них, к которому можно свести многие другие, является подход к описанию сердца при его взаимодействии с артериальной сосудистой системой как источника (генератора) механической энергии. Он заключается в представлении реального источника в виде активного генератора, наделенного некоторыми пассивными свойствами. Такой подход заимствован из электротехники и впервые попользован А. Хиллом при разработке известной модели механики скелетной мышцы. Модель состоит из активного сократительного элемента и пассивного последовательного эластичного элемента. Для построения строгой математической модели необходимо наделение активного элемента свойствами идеального источника. Это может быть источник кинетической переменной (деформация, скорость кровотока, изменение объема и др.), значение которой зависит только от времени и не зависит от потенциальной переменной (сила, напряжение, давление). Это может быть в другом варианте и источник потенциальной переменной, значение которой определяется только временем и не зависит от кинетической переменной.

Модель должна описывать также пассивные свойства источника: эластичность, вязкость и иногда инерционность. Можно говорить, что эти свойства соответствуют внутреннему импедансу источника. Однако такое утверждение, строго говоря, верно только для линейной модели, что далеко не всегда имеет место при моделировании сердца и мышцы.

Переходя к вопросу о выборе вида математических уравнений модели, следует отметить, что дифференциальные уравнения обладают преимуществом перед интегральными, если модель используется в задачах оценки сократительных свойств. Эти преимущества связаны с тем, что восстановление ядра интегрального уравнении представляет большие трудности из-за неполноты и плохого качества экспериментальных и особенно клинических данных. Применение дифференциальных уравнений дает возможность априорного выбора порядка уравнения на основе содержательных представлений. На этом пути, как показывает опыт, могут быть получены простейшие модели, допустимые для решения требуемой задачи с минимальным числом параметров, содержательно интерпретируемых как компоненты вектора сократительных свойств.

Описание взаимодействия сердца с сосудистой системой и мышцы с нагрузкой производится в терминах двух переменных: потенциальной (типа силы) и кинетической (типа скорости). Для такого описания необходимы два дифференциальных уравнения[5]:

f(z, z’ … z⁽ⁿ⁾; u, u’ … u^(m); u₀, u_o’ … u₀^(k)) = 0,         (2.13)

φ(z, z’ … z ^(l); u, u’ … u ^(p)) = 0.                                       (2.14)

Уравнение (2.13) есть описание источника (сердце, мышца), уравнение (2.14) есть описание нагрузки (артериальной сосудистой системы). Здесь z, z’ … z⁽ⁿ⁾ – потенциальная переменная и ее производные по времени; u,u’…u^m – кинетическая переменная и ее производные, u₀ u₀’, …, u₀^(k) – возмущение системы (2.13, 2.14), т. е. переменная со своими производными, описывающая идеальный активный источник. Для конкретности здесь использован источник кинетической переменной.

Задав u₀(t) возмущение и начальные условия, можно получить решение z(t)и u(t) результат взаимодействия источника с нагрузкой.

Уравнение (2.13), которое нас интересует, можно записать также в форме уравнения Коши, т. е. в виде системы уравнений первого порядка:

; ,                (2.15)

; .             (2.16)

Такая форма записи более наглядна благодаря лучшему соответствию структурной схеме механики, часто более компактна и более удобна для программирования на ЭВМ.