Аналогия и ее виды в математике

Р.Ю. Костюченко.  АНАЛОГИЯ И ЕЕ ВИДЫ В МАТЕМАТИКЕ //Математика   и   информатика:   наука   и образование. Межвузовский сборник научных трудов. Ежегодник. Выпуск 1. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001.— С.115 –120.

Основу современного этапа реформы математического образования составляют целевые установки, которые смещают акценты обучения в сторону развивающего характера математики как учебного предмета. В этой связи является актуальным внедрение в практику обучения форм и методов, предполагающих научно-исследовательскую деятельность школьников. И, как показывают наши исследования, такая деятельность может быть организована посредством использования аналогии.

Как верно замечает М.Н. Сизова, «в настоящее время в использовании аналогии при обучении математике проявляется целостный подход, без выделения ее видов» [1.С. 4]. Между тем различные виды аналогии характеризуются отличными друг от друга способами применения, а следовательно, и различными методами при обучении математике. Поэтому для успешного применения аналогии в процессе обучения необходимо иметь представление не только об аналогии, но и о различных ее видах.

Наиболее распространенным является деление аналогии на аналогию свойств и аналогию отношений. Выделение таких видов можно встретить в работах Н.В. Воробьева [2], А.А. Ивина [3], А.А. Старченко [4], А.И. Уемова [5, 6] и других. Выводы по аналогии свойств и по аналогии отношений классифицируются по типу используемых в них посылок и заключений. Если мы имеем посылку (модель) и заключение (прототип), то в зависимости от того, что переносится - свойство или отношение, говорят об аналогии свойств или об аналогии отношений.

Так, если установлено, что объект А аналогичен объекту В, а свойства объекта А переносятся на объект В, то имеем аналогию свойств. Таким образом объект А будет выступать в качестве модели, объект В - в качестве прототипа. Здесь следует отметить, что при рассмотрении аналогичных объектов, выделение среди них модели и прототипа происходит только в процессе познания. В самом деле, если установлено, что объект А аналогичен объекту J3, то можно переносить и свойства объекта В на объект А, тогда в качестве модели будет выступать объект В, а в качестве прототипа - объект Л.

Приведем пример аналогии свойств. В качестве модели будем рассматривать равнобедренный треугольник, в качестве прототипа - правильную четырехугольную пирамиду, а в качестве переносимых свойств - те свойства, которые выражены в задачах, связанных с этими геометрическими фигурами.

Относительно равнобедренного треугольника можно составить такие задачи (свойства): докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны; докажите, что в равнобедренном треугольнике утлы при основании всегда острые; докажите, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой и другие. Указанные свойства легко доказать.

При постановке вопроса о составлении задач для аналогичной фигуры - правильной четырехугольной пирамиды - можно использовать задачи, указанные выше. Тогда моделью будет равнобедренный треугольник, а прототипом - правильная четырехугольная пирамида, относительно которой получим следующие задачи: докажите, что грани правильной четырехугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом; докажите, что в правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол, образованный плоскостью основания и любой из боковых граней, всегда острый; докажите, что высота правильной четырехугольной пирамиды равноудалена от ее боковых граней, равноудалена от ее боковых ребер и делит пополам диагонали основания данной пирамиды.

Аналогия отношений характеризуется несколько иначе, чем аналогия свойств, «здесь уподобляются друг другу не два отдельных предмета, а два отношения между предметами. Если установлено, например, что явление А относится к явлению В так же, как явление С относится к явлению D, то тем самым на отношение C-D может быть перенесено все то, что установлено в отношении между первой парой явлений А - 5» [4. С. 10].

Приведем пример. В качестве пары А - В будем рассматривать взаимное положение двух равных окружностей и аналитическую запись такого взаиморасположения. В качестве пары C-D будем рассматривать взаимное положение двух равных сфер и аналитическую запись такого взаиморасположения.

Две равные окружности могут либо совпадать, либо пересекаться, либо касаться, либо вообще не иметь общих точек. Аналитически такие положения окружностей запишутся соответственно так: О₁О₂=0; 0< О₁О₂<2R; О₁О₂=2R; О₁О₂>2R, где О₁О₂- расстояние между центрами окружностей, R - радиус этих окружностей.

Две равные сферы также могут либо совпадать, либо пересекаться, либо касаться, либо вообще не иметь общих точек. Вероятно, между положением двух равных сфер и аналитической записью их взаиморасположения существует аналогия с подобным отношением для окружностей. Поэтому, используя аналогию, можно предположить, что и для сфер аналитическая запись будет выглядеть соответственно так: О₁О₂=0; 0< О₁О₂<2R; О₁О₂=2R; О₁О₂>2R, где О₁О₂- расстояние между центрами сфер, R - радиус этих сфер.

Отметим, что эти два вида аналогии наиболее часто применимы в процессе обучения учащихся геометрии, поскольку большинство пространственных объектов, свойств и отношений являются обобщениями их плоскостных аналогов.

А.И. Уемов, выявляя структуру выводов по аналогии, определяет основания, дающие возможность переносить информацию от модели к прототипу. Он пишет, что, классифицируя выводы по аналогии, «следует учитывать не только характер информации, переносимой с модели на прототип, но также и характер тех оснований, которые делают такой перенос возможным» [6. С.75]. А так как в «подавляющем большинстве» случаев в основании выводов по аналогии лежат отношения между предметами, свойствами и другими отношениями, то в соответствии с характером основания вывода можно выделить следующие аналогии: реальную (в основании лежит соотношение предметов), атрибутивную (основана на соотношении свойств) и релятивную (соотношение отношений).

Например, реальная аналогия существует между двумя подобными многоугольниками, так как в основе выводов о свойствах одного из них посредством исследования другого, лежит отношение сходства этих многоугольников. К реальной аналогии будет относиться также и аналогия между прямоугольным параллелепипедом и классной комнатой.

Атрибутивную аналогию мы находим между операциями сложения и умножения, вычитания и деления, возведения в степень и извлечения корня, дифференцирования и интегрирования и так далее. Аналогия между перечисленными операциями основана на подобии их свойств. Приведем два примера.