Элементарные функции. Функциональная связь. Понятие функции. Графики основных элементарных функций

ЧАСТЬ I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

§1.  Элементарные функции

1.1. Функциональная связь. Понятие функции.

Одним из основных понятий математики является понятие функции. Идея функционирования восходит к древности. Те вавилонские ученые, которые 4-5 тысяч лет назад нашли для площади круга S радиусом r формулу  S=3r² (грубо приближенную), тем самым установили, пусть и неосознанно, что площадь круга является функцией от его радиуса.  Однако явное и сознательное понятие функции и систематическое изучение функциональной зависимости началось намного позже. Впервые  определение функции было дано Лейбницем в 17 веке в связи с проникновением в математику понятия переменной.

Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после работ в области квантовой физики. Неизвестными в таких случаях  часто являются не функции точки, а «функции области». Это можно пояснить следующим примером: температуру тела в точке практически невозможно определить, в то время как средняя температура в некоторой области тела имеет конкретный физический смысл. Таким образом, эволюция понятия «функция» еще далеко не закончена.

В медицине, как и других науках, рассматриваются различные величины, причем большинство из них постоянно изменяются: артериальное давление, температура, пульс, частота дыхания и т.п. Постоянные величины встречаются крайне редко, например, сумма углов в треугольнике. Переменные величины можно разделить на две группы: а) независимые переменные, они изменяются произвольно; б) зависимые переменные, они изменяются в зависимости от изменения независимых переменных. Например, ребро куба R может принимать любые значения, а объем V куба будет изменяться в зависимости от величины ребра. При этом считают, что V есть функция от R. Необходимо уточнить, что каждому значению R будет соответствовать по некоторому закону строго определенное значение V. Кроме того, несущественно, известна формула, описывающая эту зависимость или нет. Таким образом, функцию можно определить следующим образом:

Если каждому числу х из множества чисел N поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве N задана функция y=f(x).

Или другими словами:

Число Y  называется функцией аргумента Х, если каждому значению числа Х соответствует строго определенное число Y:  y=f(x). Это равенство читается «игрек равняется эф от икс». Буква f первая от слова functio.

Область изменения аргумента называют областью определения. Если областью определения являются все действительные числа, то говорят, что функция определена на всей числовой оси или от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Любое собрание или совокупность каких-либо предметов называют в математике множеством. Прямая, все точки которой приведены в соответствие со всеми действительными числами, называется числовой прямой или действительной осью. Точки ее называются числами, которые они представляют. Мы будем называть числа точками и, наоборот, точки числами. Пусть числа удовлетворяют неравенству a<b. Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам a ≤ x ≤ b, называется отрезком и обозначается [a, b]. Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам a<x<b, называется интервалом и обозначается (a, b).

При задании функции необходимо установить соответствие между числами x и y. В зависимости от того, как задано это соответствие, различают следующие основные способы задания функции: табличный, аналитический, графический и параметрический.

1) Табличный способ

Табличный способ задания функции состоит в том, что для каждого значения аргумента x рядом выписывается соответствующее значение функции y. Достоинства табличного способа состоят в том, что из таблицы видно как ведет себя функция и для определенных точек известны точные значения функции. Но совершенно неизвестно определена ли функция в точке x=8, а если определена, то чему равно значение функции в этой точке. То есть при табличном способе задания функции почти ничего неизвестно об области определения этой функции. Для ответа на этот вопрос надо знать что-то помимо этой таблицы.