Корреляция. Корреляционный анализ. Коэффициент корреляции. Проверка значимости коэффициента корреляции

§14. Корреляция

14.1. Корреляционный анализ

Корреляционный и регрессионный анализ – два способа выявления связи между случайными величинами

В медико-биологических исследования большое внимание уделяется установлению связей между различными параметрами, признаками или явлениями.

В математике для выражения зависимости между переменными величинами используется понятие функции. О функциональной зависимости говорят в том случае, когда определённому значению одной переменной соотносится только одно значение другой переменной. В общем виде эта зависимость записывается так:  y=f(x).  Так например,  длина  окружности однозначно и линейно связана с радиусом окружности:  L=2 R. При:   R = 1, L =  2, а при  R = 2, L = 4 и т.д.   Линейную зависимость в математике принято выражать в следующем виде: y=kx +b. Где  k – угол наклона прямой к оси x

Рис. 14.1

Известные формулы физики также указывают на наличие функциональной зависимости между различными физическими величинами.  Например, закон Ома  устанавливает связь между силой тока, напряжением и сопротивлением проводника.

Однако в медико-биологических экспериментах функциональные зависимости встречаются далеко не всегда, а чаще одному значению признака соответствует несколько значений другого признака. Например, при одном и том же росте, вес различных людей  может быть различен, но между средними значениями этих показателей имеется определённая зависимость.

Закономерности при работе со случайными величинами могут иметь только статистический, а это значит – усредненный, характер. По отношению же к конкретному объекту наблюдения эти закономерности могут иметь только приблизительный и вероятностный характер.

Такого рода зависимость между переменными  случайными величинами  X  и  Y,   при которой каждому значению одной из них соответствует не какое-то конкретное значение, а определённая групповая средняя другой величины, называется стохастической (что в переводе  на русский означает - вероятностной), а если она линейная, то связь называют корреляционной   или просто корреляцией.   

Примеров  корреляции можно привести достаточно много.  В медицине это количество простудных заболеваний за месяц на участке и средняя температура месяца, в - социологии -  количество браков в году и число новорожденных в следующем году, в сельском хозяйстве  - количество выпавших осадков и  урожайность на полях,  в педагогике – количество прочитанного материала перед экзаменом  и оценка на экзамене и т.д.

Раздел математической статистики, занимающийся установлением  взаимосвязей между случайными величинами называется корреляционно-регрессионным анализом.     

С помощью корреляционного анализа определяется теснота или сила связи между случайными величинами, а также направление связи между ними.  Сила связи при этом характеризуется одним числом – коэффициентом корреляции. Величина коэффициента  корреляции может быть в пределах от 0 до ±1. Ноль означает, что связи совсем нет, а единица получается при другой крайности – когда связь оказывается абсолютной, то есть функциональной, 100-процентной. Тогда число 0.8 в каком-то случае означает, что сила связи между случайными величинами в этом случае составляет 80%  от абсолютной, функциональной.

При этом, если с увеличением одной величины возрастает и другая, то корреляционная связь называется прямой. Коэффициент корреляции в данном случае положительный. Если с ростом одной величина другая, связанная с ней величина уменьшается, связь называется обратной, а коэффициент корреляции будет отрицательным.

Регрессионный анализ позволяет описать форму зависимости  между СВ с помощью уравнений регрессии (линейных, квадратичных, показательных и т.д.) . Кроме того, с помощью уравнений регрессии можно  зная одну величину предсказать другую. Установление взаимосвязи между различными признаками  и показателями функционирования организма позволяет по изменениям одних из них судить о состоянии других. Очевидно, каждый из вас занимался регрессионным анализом, если пытался определить свой   вес  Y,  зная свой рост X,  с помощью  математического уравнения: Y = X – 100.

Регрессионный и корреляционный анализ тесно связаны друг с другом.

14.2. Коэффициент ковариации

Прежде чем приступить к описанию коэффициента корреляции попробуем рассмотреть вспомогательную величину  –  коэффициент ковариации.

Именно из этого коэффициента можно  получить   коэффициент корреляции.

Слово "ковариация" в переводе означает "соизменение". Наличие связи между случайными величинами  выражается в том, что параметры  X и Y в значительной степени изменяются согласованно. Совместное изменение СВ принято называть соизменение. В случае роста и веса очевидно, что у высокого человека,  вес  окажется скорее всего большим, а если  рост ниже среднего, то и вес окажется ниже среднего веса. 

Для характеристики степени соизменения в математической статистике  вводится коэффициент ковариации. а) Коэффициент ковариации в генеральной совокупности.

Он обозначается буквой m и  определяется по формуле:

.

Здесь:    а – математическое ожидание случайной величины Х;

b – математическое ожидание случайной величины Y;

N – объем генеральной совокупности.

По смыслу параметр  m является средним произведением отклонений обеих случайных величин от своих средних в генеральной совокупности.  Иначе говоря, у него смысл среднего соизменения.