САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Расчётное задание № 1.
Студент: Батунин О.В.
Группа № 2023/1
Преподаватель: Варламов Юрий Владимирович
Санкт-Петербург
-2004-
ЗАДАНИЕ №1
В линейной электрической цепи, находящейся под действием постоянного напряжения, происходит коммутация.
Найти все токи и напряжения на элементах цепи до коммутации и после коммутации. Построить их графики зависимости от времени.
Токи до коммутации: .
Напряжения до коммутации:
Токи после коммутации: .
Напряжение после коммутации:
Переменная состояния для данной цепи имеет вид:
, где . Определим численные значения , которые подставим в данную функцию.
1. Определение .
2. Определение .
По закону коммутации .
Составим уравнения цепи до коммутации, используя законы Кирхгофа:
Подставляя первое уравнение системы во второе, и используя третье уравнение, получим:
Из последнего уравнения системы выразим ток и подставим его в полученное уравнение, выразим :
3. Определение постоянной времени t.
Закоротим источники ЭДС, и определим эквивалентное сопротивление цепи относительно зажимов катушки.
4. Запишем окончательно найденное численное значение переменной состояния
5. Определение .
Найдём с помощью дифференцирования напряжение на катушке в переходном процессе.
Расчет токов и напряжений после коммутации.
Запишем уравнения Кирхгофа:
Запишем решение данного дифференциального уравнения в общем виде:
Запишем характеристический многочлен.
Цепь питается от источника постоянного тока. Значит при в цепи устанавливается постоянный ток, и падение напряжение на катушке будет равно нулю. Таким образом всё напряжение источника будет приложено к резисторам R1 и R2. Поэтому ток в цепи после коммутации при установившемся режиме будет равен .
Для определения постоянной А запишем общее решение дифференциального уравнения, используя полученное значение тока в установившемся режиме:
Используем закон коммутации — непрерывность тока в момент коммутации, и найденное ранее значение , получим:
, откуда
Запишем окончательно решение дифференциального уравнения:
Дифференцированием найдём:
При коммутации размыкается ветвь с сопротивлением R3, поэтому ток i3 после коммутации равен нулю. Таким образом получаем цепь с одним контуром, в которой токи i1 и i2 будут равны контурному току: .
Рассчитаем напряжения на резисторах после коммутации.
На резисторе R1:
На резисторе R2:
На выводах резистора R3 напряжение после коммутации будет равно нулю, так как после коммутации ветвь с резистором размыкается и ток в ветви , следовательно и .
Расчет токов и напряжений до коммутации.
Составим уравнения цепи до коммутации, используя законы Кирхгофа:
Подставляя первое уравнение системы во второе, и используя третье уравнение, получим:
Из последнего уравнения системы выразим ток и подставим его в полученное уравнение, выразим :
Из последнего уравнения системы получим:
По первому уравнению системы найдём ток :
Расчёт напряжений на резисторах до коммутации.
На резисторе R1:
На резисторе R2:
На резисторе R3:
Напряжение на катушке до коммутации равно нулю, так как в установившемся режиме на постоянном токе сопротивление катушки носит чисто активный характер, а активное сопротивление катушки .
ЗАДАНИЕ №2
Вариант № 24
R1=300 Ом
R2=200 Ом
R3=100 Ом
u0=150 В
L=400 млГн
C=40 мкФ
В цепи, находящейся под действием постоянного тока, происходит коммутация в момент времени t=0. Определить напряжения и токи на катушке индуктивности и конденсаторе при t<0, t=0, t>0, применяя:
классический метод,
метод переменных состояния,
метод эквивалентных источников.
Построить графики определённых в расчёте величин.
Ток на конденсаторе до коммутации:
Напряжение на катушке до коммутации:
Расчёт переменных состояния до коммутации.
Ток iC на конденсаторе до коммутации равен нулю, так как конденсатор в установившемся режиме на постоянном токе представляет разрыв цепи.
Напряжение на катушке до коммутации равно нулю, так как в установившемся режиме на постоянном токе сопротивление катушки носит чисто активный характер, а активное сопротивление катушки .
Расчёт переменных состояния в установившемся режиме.
Формирование уравнений состояния по методу переменных состояния.
Составим систему уравнений для цепи после коммутации, используя уравнения Кирхгофа:
Запишем в этой системе ток на конденсаторе и
напряжение на катушке через переменные
состояния.
Из третьего уравнения системы выразим ток на резисторе R2: , подставим это выражение в первое и второе уравнения системы, получим:
Разрешим полученные уравнения относительно производных.
Подставим в систему дифференциальных уравнений численные значения R1, R2, L, C, u0.
Формирование уравнений состояния с помощью эквивалентных источников.
Заменим динамические элементы в схеме после коммутации эквивалентными источниками: катушки индуктивности — источниками тока, конденсаторы — источниками ЭДС. Получим резистивную цепь.
Выразим напряжение uL и ток конденсатора iC через параметры элементов схемы. Структура схемы позволяет воспользоваться принципом наложения. Найдём напряжение uL и ток конденсатора iC при действующим в цепи источнике:
1. eC
2. JL
3. e0
Окончательно найдём:
Разрешим полученные уравнения относительно производных.
Подставим в систему дифференциальных уравнений численные значения R1, R2, L, C, u0.
Найдём начальные условия и .
Решение уравнения состояния классическим методом.
Запишем систему дифференциальных уравнений.
Запишем систему в виде:
, где ; ;
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.