Определение напряжения и токов на элементах цепи до коммутации и после коммутации, а также на катушке индуктивности и конденсаторе при t<0, t=0, t>0, применяя классический метод, метод переменных состояния и метод эквивалентных источников

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Расчётное задание № 1.

Студент: Батунин О.В.

Группа № 2023/1

Преподаватель: Варламов Юрий Владимирович

Санкт-Петербург
-2004-

ЗАДАНИЕ №1

Вариант № 21

            В линейной электрической цепи, находящейся под действием постоянного напряжения, происходит коммутация.

Найти все токи и напряжения на элементах цепи до коммутации и после коммутации. Построить их графики зависимости от времени.

РЕЗУЛЬТАТ

Токи до коммутации: .

Напряжения до коммутации:

Токи после коммутации: .

Напряжение после коммутации:

РЕШЕНИЕ

Метод переменных состояния.

Переменная состояния  для данной цепи имеет вид:

, где . Определим численные значения , которые подставим в данную функцию.

1.  Определение .

2.  Определение .

По закону коммутации .

Составим уравнения цепи до коммутации, используя законы Кирхгофа:

Подставляя первое уравнение системы во второе, и используя третье уравнение, получим:

Из последнего уравнения системы выразим ток   и подставим его в полученное уравнение, выразим :

3.  Определение постоянной времени t.

Закоротим источники ЭДС, и определим эквивалентное сопротивление цепи относительно зажимов катушки.

4.  Запишем окончательно найденное численное значение переменной состояния

5.  Определение .

Найдём с помощью дифференцирования  напряжение на катушке в переходном процессе.

Расчёт токов классическим методом.

Расчет токов и напряжений после коммутации.

Запишем уравнения Кирхгофа:

Запишем решение данного дифференциального уравнения в общем виде:

Запишем характеристический многочлен.

Цепь питается от источника постоянного тока. Значит при  в цепи устанавливается постоянный ток, и падение напряжение на катушке будет равно нулю. Таким образом всё напряжение источника будет приложено к резисторам R₁ и R₂. Поэтому ток в цепи после коммутации при установившемся режиме будет равен .

Для определения постоянной А запишем общее решение дифференциального уравнения, используя полученное значение тока в установившемся режиме:

Используем закон коммутации — непрерывность тока в момент коммутации, и найденное ранее значение , получим:

, откуда

Запишем окончательно решение дифференциального уравнения:

Дифференцированием найдём:

При коммутации размыкается ветвь с сопротивлением R₃, поэтому ток i₃ после коммутации равен нулю. Таким образом получаем цепь с одним контуром, в которой токи i₁ и i₂ будут равны контурному току: .

Рассчитаем напряжения на резисторах после коммутации.

  На резисторе R₁:

        На резисторе R₂:

        На выводах резистора R₃ напряжение после коммутации будет равно нулю, так как после коммутации ветвь с резистором размыкается и ток в ветви , следовательно и  .

Расчет токов и напряжений до коммутации.

 

Составим уравнения цепи до коммутации, используя законы Кирхгофа:

Подставляя первое уравнение системы во второе, и используя третье уравнение, получим:

Из последнего уравнения системы выразим ток   и подставим его в полученное уравнение, выразим :

Из последнего уравнения системы получим: 

По первому уравнению системы найдём ток :

Расчёт напряжений на резисторах до коммутации.

         На резисторе R₁:

         На резисторе R₂:

         На резисторе R₃:

         Напряжение на катушке до коммутации равно нулю, так как в установившемся режиме на постоянном токе сопротивление катушки носит чисто активный характер, а активное сопротивление катушки .

ЗАДАНИЕ №2

Вариант № 24

R₁=300 Ом

R₂=200 Ом

R₃=100 Ом

u₀=150 В

L=400 млГн

C=40 мкФ

В цепи, находящейся под действием постоянного тока, происходит коммутация в момент времени t=0. Определить  напряжения и токи на катушке индуктивности и конденсаторе при t<0, t=0, t>0, применяя:

классический метод,

метод переменных состояния,

метод эквивалентных источников.

Построить графики определённых в расчёте величин.

РЕЗУЛЬТАТ

Ток на конденсаторе до коммутации:

Напряжение на катушке до коммутации:

РЕШЕНИЕ

Расчёт переменных состояния до коммутации.

                

Ток i_C на конденсаторе до коммутации равен нулю, так как конденсатор в установившемся режиме на постоянном токе представляет разрыв цепи.

Напряжение на катушке до коммутации равно нулю, так как в установившемся режиме на постоянном токе сопротивление катушки носит чисто активный характер, а активное сопротивление катушки .

Расчёт переменных состояния в установившемся режиме.

Формирование уравнений состояния по методу переменных состояния.

Составим систему уравнений для цепи после коммутации, используя уравнения Кирхгофа:

Запишем в этой системе ток на конденсаторе  и напряжение на катушке  через переменные состояния.

Из третьего уравнения системы выразим ток на резисторе R₂: , подставим это выражение в первое и второе уравнения системы, получим:

Разрешим полученные уравнения относительно производных.

Подставим в систему дифференциальных уравнений численные значения R₁, R₂, L, C, u₀.

Формирование уравнений состояния с помощью эквивалентных источников.

Заменим динамические элементы в схеме после коммутации эквивалентными источниками: катушки индуктивности — источниками тока, конденсаторы — источниками ЭДС. Получим резистивную цепь.

Выразим напряжение u_L и ток  конденсатора i_C через параметры элементов схемы. Структура схемы позволяет воспользоваться принципом наложения. Найдём напряжение u_L и ток  конденсатора i_C при действующим в цепи источнике:

1.  e_C

2.  J_L

3.  e₀

 

Окончательно найдём:

Разрешим полученные уравнения относительно производных.

Подставим в систему дифференциальных уравнений численные значения R₁, R₂, L, C, u₀.

Найдём начальные условия  и .

Решение уравнения состояния классическим методом.

Запишем систему дифференциальных уравнений.

Запишем систему в виде:

, где  ; ;