Расчет установившейся ошибки в системах управления. Структурные признаки астатизма

Лекция 17. Расчет установившейся ошибки в системах управления. Структурные признаки астатизма

Установившейся (статической) ошибкой называют постоянное значение сигнала ошибки x(t)=g(t)-y(t), которое она приобретает по окончании переходного процесса: , рисунок 116.

Очевидно, установившаяся ошибка зависит от законов изменения и численных характеристик входных сигналов системы. Поэтому при ее определении принято рассматривать так называемые типовые входные сигналы, законы изменения которых составляют степенной ряд относительно времени. Например, для задающего воздействия:

,  ,   и так далее.

При наличии нескольких воздействий на линейную систему для определения x_уст используется принцип суперпозиции – реакция линейной системы на совокупность входных сигналов совпадает с алгебраической суммой ее реакций на каждый из сигналов в отдельности:

, где каждое слагаемое, или составляющая сигнала ошибки, определяется для i-го входного сигнала при условии, что остальные тождественно равны нулю. Такой подход полностью соответствует определению передаточной функции и позволяет выполнять расчет установившейся ошибки на основе структурной схемы системы.

Рассмотрим порядок расчета установившейся ошибки на следующем достаточно общем примере (рисунок 117).

В соответствии с принципом суперпозиции установившаяся ошибка будет определяться здесь в виде суммы трех составляющих .

Изображение по Лапласу ошибки от задающего воздействия получают через передаточную функцию замкнутой системы по ошибке  при известном изображении задающего воздействия G(s):

, где F(s) – основная передаточная функция замкнутой системы. Для структурной схемы на рисунке 117

, где  - передаточная функция разомкнутой системы, или прямой цепи системы, для рассматриваемого примера.

Непосредственно для расчета установившегося значения ошибки от задающего воздействия используют теорему о конечном значении для преобразования Лапласа:

В результате:

.

Изображение по Лапласу ошибки от возмущающего воздействия получают через передаточную функцию замкнутой системы по ошибке от возмущения  при известном изображении возмущающего воздействия F(s):

, где F_f(s) –передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию,

;

W_f(s) – передаточная функция разомкнутой системы по возмущению (передаточная функция участка прямой цепи системы от точки приложения возмущающего воздействия до выхода системы).

Для структурной схемы на рисунке 8 необходимо учитывать два возмущающих воздействия, приложенные в различные точки системы.

Для f₁:                              ,

,

.

Для f₂:                                 ,

,

.

Расчет упрощается для системы с единичной отрицательной обратной связью (рисунок 118):

,

, где k=k₁k₂k₃ – коэффициент передачи разомкнутой системы.

Найдем установившуюся ошибку для некоторых типовых вариантов задающего воздействия.

При  получим:

.

При  получим:

.

При  получим:

.

Если установившаяся ошибка тождественно равна нулю при каком-либо типовом варианте входного сигнала, независимо от его численных характеристик, систему называют астатической по рассматриваемому входному сигналу.

Количество типовых вариантов входного сигнала – членов степенного ряда, при которых установившаяся ошибка тождественно равна нулю, определяет порядок астатизма.

Рассматриваемая система обладает свойством астатизма второго порядка по задающему воздействию.

Рассмотрим установившуюся ошибку от возмущения f₁:

,

, где  – коэффициент передачи разомкнутой системы по возмущению f₁.

При  получим:

.

При  получим:

.

При  получим тот же результат.

Отметим, что по возмущению f₁ рассматриваемая система не является астатической. Кроме того, она не в состоянии отработать два последних варианта входного сигнала.

Рассмотрим установившуюся ошибку от возмущения f₂:

,

, где  – коэффициент передачи разомкнутой системы по возмущению f₂.

При  получим:

.

При  получим:

.

При  получим:

.

По возмущению f₂ рассматриваемая система имеет астатизм первого порядка. Она не в состоянии отработать возмущающее воздействие, изменяющееся во времени с постоянным ускорением.

Подведем некоторые итоги:

1. Наличие и глубина свойства астатизма зависят от точки приложения входного сигнала.

2. Постоянные времени звеньев системы не влияют на ее точность.

3. Увеличение значения коэффициента передачи разомкнутой системы приводит к снижению величины установившейся ошибки.

Для систем с единичной отрицательной обратной связью существуют достаточно простые структурные признаки астатизма.

Рассмотрим структуру, показанную на рисунке 119.

В общем случае передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в следующей форме:

, где l³0.

Тогда получим:

и для общего вида задающего воздействия , которому соответствует изображение ,

.

Результат нахождения этого предела зависит от соотношения показателей степени:

- при l>v установившаяся ошибка равна нулю независимо от остальных параметров, то есть имеет место астатизм;

- при l=v получаем константу;

- при l<v установившаяся ошибка стремится к бесконечности, то есть система не в состоянии отработать входной сигнал.

Учитывая, что минимальное значение v нулевое, получаем условие астатизма по задающему воздействию: l>0.

Таким образом, структурный признак астатизма по задающему воздействию в системе с единичной отрицательной обратной связью состоит в наличии нулевых корней в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы, или интегрирующих звеньев в прямой цепи системы.

Нетрудно также убедиться, что положительное значение l совпадает с порядком астатизма.

Для получения признака астатизма по возмущающему воздействию представим передаточные функции на рисунке 10 в форме:

,

, где l₁+l₂=l, k₁k₂=k, m₁+m₂=m, n₁+n₂=n, причем  и .

Тогда получим:

и для общего вида возмущающего воздействия , которому соответствует изображение ,

.

Все вышеприведенные выводы можно повторить для показателя степени l₁.

Таким образом, структурный признак астатизма по возмущающему воздействию в системе с единичной отрицательной обратной связью состоит в наличии нулевых корней в знаменателе передаточной функции участка системы до точки приложения воздействия, или интегрирующих звеньев на том же участке.