Частотный критерий устойчивости Найквиста

Лекция 13.Частотный критерий устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста предусматривает анализ устойчивости замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы:  и  или АФХ разомкнутой системы, или  и j(w). Критерий Найквиста наиболее широко используется на практике по следующим причинам:

- передаточная функция и частотные характеристики для разомкнутой системы могут быть получены проще, чем для замкнутой;

- помимо анализа устойчивости обеспечивается определение ряда показателей качества системы;

- для анализа устойчивости и качества системы в принципе не требуется математическая модель, так как критерий допускает работу с экспериментально полученными частотными характеристиками;

- критерий Найквиста положен в основу достаточно простых и удобных процедур синтеза систем;

- “классический” вариант критерия разработан для случая единичной отрицательной обратной связи, но легко распространяется и на общий случай.

Критерий Найквиста проще всего может быть получен как следствие критерия Михайлова.

Отметим следующие обстоятельства:

1. Для системы с единичной отрицательной обратной связью имеет место следующее соотношение:

.

Следовательно, при любом изменении частоты полное приращение аргумента Dj_1+W комплексной функции  равно разности полных приращений аргумента Dj_D характеристического комплекса замкнутой системы  и Dj_Q характеристического комплекса разомкнутой системы : Dj_1+W =Dj_D - Dj_Q.

2. Для устойчивой замкнутой системы при изменении частоты от - до  полное приращение аргумента  составит Dj_D =np.

3. Полное приращение аргумента  при изменении частоты от - до  составит Dj_Q =np-2lp, где l - количество корней знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

В результате получим необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы в следующей форме: полное приращение аргумента  при изменении частоты от - до  должно составлять

, где l - количество корней знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Если обратиться к комплексной плоскости, это условие можно сформулировать следующим образом: при изменении частоты от - до  угол поворота изображающего вектора функции   относительно начала координат должен составить 2lp, где l - количество корней знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Эквивалентное и значительно более удобное для практического использования условие можно получить, рассматривая непосредственно ЧПФ разомкнутой системы W(jw) и соответственно сместив опорную точку для измерения угла поворота из начала координат в точку (-1; 0j).

Таким образом получаем основную формулировку критерия устойчивости Найквиста: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от - до  угол поворота изображающего вектора ЧПФ разомкнутой системы  относительно точки с координатами (-1; 0j) составил 2lp, где l - количество корней знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Иногда говорят: АФХ разомкнутой системы должна охватить точку с координатами (-1; 0j) l раз в положительном направлении.

Рассмотрим применение критерия для основных частных случаев.

Система, устойчивая в разомкнутом состоянии

В этом случае l=0, для устойчивости замкнутой системы угол поворота изображающего вектора  относительно точки с координатами (-1; 0j) должен быть равен нулю, то есть АФХ разомкнутой системы не должна охватывать эту точку.

Пример: передаточная функция разомкнутой системы

.

Получим АЧХ и ФЧХ:

,  .

АФХ разомкнутой системы показана на рисунке 98. С учетом сформулированного выше условия рисунок 98а соответствует устойчивой замкнутой системе, рисунок 98б – неустойчивой, рисунок 98в – находящейся на колебательной границе устойчивости. В последнем случае частота w₁, соответствующая прохождению АФХ через точку (-1; 0j), является частотой незатухающих колебаний в системе.

Из рисунка 98 следует порядок применения критерия: по виду АФХ с учетом значения l определяется требуемое для устойчивости замкнутой системы взаимное расположение точки пересечения АФХ с горизонтальной осью и точки (-1; 0j). После этого весь расчет связан с точкой пересечения. Найдем для рассматриваемого примера частоту w₁, приравняв к нулю мнимую частотную характеристику разомкнутой системы:

,

,

,

:   .

В соответствии с рисунком 98а условие устойчивости замкнутой системы сводится к неравенству  или .

Воспользуемся первым из них:

,

и так далее до итогового неравенства

В заключение отметим, что для применения критерия можно ограничиться половиной АФХ – для положительных частот, дополнив ее отрезком положительной вещественной полуоси.

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии

В этом случае l>0, и АФХ разомкнутой системы должна охватить точку с координатами (-1; 0j) l раз в положительном направлении. Целесообразно использовать полную АФХ.

Пример: передаточная функция разомкнутой системы

,   T₁<T₂.

Получим АЧХ и ФЧХ:

,  .

АФХ разомкнутой системы показана на рисунке 99. С учетом сформулированного выше условия рисунок 99а соответствует устойчивой замкнутой системе, рисунок 99б – неустойчивой. Условие устойчивости замкнутой системы сводится к неравенству  или . В результате получаем k>1. Система может быть только условно устойчивой.

Система, нейтрально устойчивая в разомкнутом состоянии

Полученная выше формулировка критерия Найквиста распространяется на системы, устойчивые (l=0) и неустойчивые (l>0) в разомкнутом состоянии. Для того, чтобы критерий был универсальным, необходимо также учесть системы, находящиеся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости, то есть учесть случаи, когда знаменатель передаточной функции разомкнутой системы Q(s) имеет нулевые или мнимые корни. Это удается сделать, условно относя системы, находящиеся на границе устойчивости, к числу устойчивых. В таком контексте их называют нейтрально устойчивыми. Формально этот прием сводится к тому, что нулевой корень рассматривается как предельный случай отрицательного вещественного корня: s₁=-a (a→0), а пара мнимых корней – как предельный случай комплексно сопряженных с отрицательной вещественной частью: s_1,2=-a±jb (a→0).