Решение алгебраических уравнений методом замены переменной

Контрольная работа по математике №2, 10 класс (решения)

1. Группируем первую скобку с четвертой, вторую с третьей, получим , заменим , тогда . Значит  или  и получаем .

Ответ: .

2. Группируем первую скобку с четвертой, вторую с третьей, получим . Заметим, что х=0, не является корнем уравнения, значит, можно вынести их каждой скобки х и разделить обе части уравнения на х². Уравнение примет вид:, заменим , . Тогда  или . Умножим каждое из этих уравнений на х, получим , или , D<0, решений нет.

Ответ: .

3. Пусть , тогда , , .

Ответ: 144.

4. Умножим обе части уравнения на , тогда. Пусть , тогда , . Тогда  или .

Ответ: .

5. Пусть , тогда . Уравнение примет вид: . С учетом, что  имеем , .

Ответ: .

6. ОДЗ: . Пусть ,тогда . Получаем уравнение , возводим обе части уравнения в четвертую степень: . Снова замена: тогда  значит х²=1, с учетом ОДЗ, х=1.

Ответ: 1.

7. ОДЗ: . Приравниваем к нулю каждый множитель. 1). Но  не является корнем исходного уравнения, т.к. не подходит по ОДЗ. 2).

Ответ: –1, –16, 6.

8. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим , . Проверка показывает, что х=7, является посторонним корнем.

Ответ: 10.

9. При х=2 обе части уравнения обращаются в ноль, тем не менее, х=2 не является корнем данного уравнения, т.к. в этом случае  не имеет смысла. Делим обе части уравнения на , и возводим обе его части в квадрат, получим .

Ответ: 4, –1.

10. Возводим обе части уравнения в квадрат: ,. Проверка показывает, что х= –3 посторонний корень.

Ответ:–2.

11. , тогда  или , .

Ответ: , –2, –1.

12.  или .

Ответ:2, 4, .

13. Первое уравнение является однородным, т.к. каждое его слагаемое имеет одинаковую степень 2. Делим обе части этого уравнения на . Получим: . Заменим , получим , тогда  или . Подставим найденные соотношения во второе уравнение исходной системы. При х=у, получим . При х = –3у: , нет решений.

Ответ: .

14. Решаем неравенство методом интервалов. Числитель обращается в ноль при х_1,2=0 и х₃= –3. Знаменатель обращается в ноль при х₁= –1 и х₂=6.

Ответ:.

15. Решаем неравенство методом интервалов. Числитель обращается в ноль при х_1,2= –0,5 и х₃= –5. Знаменатель обращается в ноль при х_1,2= ±2 и х₃= –2.                                                Ответ:.

16. Неравенство равносильно системе неравенств: , , , общее решение: .

Ответ: .

17. Неравенство равносильно совокупности неравенств:, , . Общее решение: .

Ответ: .

18. Уравнение имеет два различных действительных корня, если , запишем эти условия для данного уравнения: , , . Общее решение: .

Ответ: .

19. График данной квадратичной функции лежит ниже оси Ох при любых значениях х. если D<0, т.е. 36–32с < 0, .

Ответ:2.

20. Уравнение имеет два различных действительных корня разных знаков, если , запишем эти условия для данного уравнения: , , .

Ответ: .

21. Данное уравнение равносильно системе: , следовательно, каждое из уравнений системы должно иметь два различных корня (D> 0).

1) . 2) . Учитывая, что  а>0, получаем  0<a<4.

Ответ: .

22. ОДЗ: . Приравниваем к нулю каждый множитель в левой части данного уравнения, получим:  и . Исходное уравнение имеет один корень, если , то есть при , или, если  не подходит по ОДЗ, то есть . Общее решение.

Ответ: .