Основные понятия и аксиомы динамики. Законы Ньютона и аксиомы динамики. Виртуальные перемещения в обобщенных координатах

Запишем ограничения, накладываемые связями на скорости точек механической системы. Для этого продифференцируем уравнения (1) вдоль движений механической системы. Тогда в совокупности с уравнениями (2) будем иметь:

,+,                 ,              (3)

+,       .              (4)

Определение 3.

Совокупность векторов , являющаяся решением системы (3),(4) при заданном возможном положении  в момент , называется возможной скоростью механической системы в момент времени  в возможном положении .

Если механическая система свободная, то ее возможной скоростью в любом возможном положении называется любая совокупность векторов .

Аналогично дается понятие возможного ускорения механической системы. Так же выписываются ограничения, накладываемые геометрическими и дифференциальными связями на ускорения:

,+,…,,,…,,,  ,          (5)

+,…,,,…,,,    .         (6)

Здесь     =,+,+,

=,+,+,+.

Компоненты векторов , , , ,  вычисляются по формулам:

=,   =,

,   ,    .

При выводе формул (5) использовалось свойство равенства смешанных производных при перестановке порядка дифференцирования, справедливое для дважды непрерывно дифференцируемых функций ,...,,, .

Определение 4.

Совокупность векторов , являющаяся решением системы уравнений (5),(6) при заданных в момент  возможном положении  и возможной скорости , называется возможным ускорением механической системы в момент времени .

2º. Действительные движения, положения, скорости и ускорения     механической системы.

Определение 5.

Кинематически возможное движение называется действительным движением, если оно удовлетворяет аксиоматике Ньютона-Галилея, т.е. обращает уравнения Ньютона-Галилея в тождества.

Из определений 1-5 следует:

–  всякое действительное движение — это возможное;

–  не всякое возможное движение является действительным;

–  в любой момент времени  положение, скорость и ускорение механической системы, вычисленные на действительном движении, являются возможными.

Определение 6.

Положение, скорость и ускорение механической системы, вычисленные на действительном движении в момент времени , называются действительными положением, скоростью и ускорением механической системы в этот момент времени.

3º. Возможные и действительные перемещения материальной точки     и механической системы.

Пусть  — возможное движение материальной точки . Тогда в любой фиксированный момент времени  будем иметь:

             —возможное положение точки ;

=          —возможную скорость точки ;

==     —возможное ускорение точки .

Пусть =+, . Тогда  — возможное положение точки  в момент +.

Определение 7.

Вектор =- называется возможным перемещением точки  за время  относительно положения .

Будем рассматривать возможные перемещения  точки  за время  при достаточно малых значениях .

Тогда можем записать

=++,   где ——>0 при ——>0.

Определение 8.

Вектор =, где  — возможная скорость, имеющий своим началом возможное положение , называется возможным линейным перемещением точки  за время .

Очевидно, что если  достаточно мало, то возможное перемещение и возможное линейное перемещение точки  совпадают с точностью до членов порядка .

Определение 9.

Совокупность векторов , где вектор  определяется по формуле =, , и имеет своим началом возможное положение  точки , называется возможным линейным перемещением механической системы за время . Здесь  — возможная скорость точки  в момент времени  в положении .

Выведем ограничения, накладываемые уравнениями связей на возможные линейные перемещения.

Воспользуемся уравнениями (3),(4), которым удовлетворяют возможные скорости точек механической системы.

Умножим каждое из них на . Учитывая, что =, придем к следующим уравнениям, устанавливающим ограничения на возможные линейные перемещения:

,,       ,              (7)

+,        .              (8)

В матричной форме (7),(8) принимают вид

+,                        (9)

где     — матрица размерности ,

    — вектор-столбец размерности ,

  — вектор-столбец размерности , составленный из компонент векторов , .

В явном выражении матрица , вектора  и  представляются следующим образом:

.                 (10)

В блочной записи матрицы  в (10) блоки  и  являются матрицами размерности  и , соответственно:

,       (11)

.      (12)

Векторы-столбцы  и  уравнения (9) в транспонированном виде имеют следующее представление:

(,,…,,,…,),

,…,,…,.

В этих формулах приняты обозначения:

— символ  обозначает операцию транспонирования;

— для всех  через , ,  обозначены векторы

=,,,                ,

,                       ,

, где  , ,       — компоненты векторов ,

  — компоненты векторов  в уравнениях (8),

— компоненты векторов  (возможных линейных перемещений).

Примечание 2.

Если в определениях 7,8,9 заменить возможное движение действительным, то придем к понятиям действительного перемещения точки  за время , действительного линейного перемещения точки  за время , действительного линейного перемещения механической системы за время .

Ограничения, накладываемые на действительные линейные перемещения, будут иметь вид (7),(8),(9) с той лишь разницей, что коэффициенты при  и  будут вычисляться в действительном положении механической системы.

4º. Виртуальные перемещения механической системы.

Пусть в фиксированный момент времени  механическая система