Определение индуктивности соленоида

Лабораторная работа № 15

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДУКТИВНОСТИ СОЛЕНОИДА

Цель работы

Изучить явления самоиндукции, понятие индуктивности и методы измерения индуктивности соленоида.

Краткое теоретическое введение

1. Индуктивность контура. Явление самоиндукции.

Вокруг любого проводника с током I существует магнитное поле.

Собственное магнитное поле контура с током создает магнитный поток самоиндукции через воображаемую поверхность S, ограниченную этим контуром:

,                                                 (1) где - проекция вектора индукции  магнитного поля тока I на нормаль к элементу поверхности dS.

Из закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции следует, что эта проекция равна

где  - вектор индукции магнитного поля, созданного элементом  замкнутого контура Г с током I в точке, местоположение которой относительно определяется радиус - вектором .

Подставляя выражение для  в формулу (1) и вынося из-под знака интеграла постоянные, получим

                                      (2)

или

.

Коэффициент пропорциональности  между собственным потоком вектора магнитной индукции  через поверхность, ограниченную контуром, и силой тока  в этом контуре называется индуктивностью контура (коэффициентом самоиндукции).

Из формулы (2) следует, что индуктивность контура зависит только от геометрических размеров, формы контура и магнитной проницаемости  той среды, в которой он находится.

Единица индуктивности в СИ называется Генри (Г):

Для бесконечно длинного соленоида, витки которого плотно прилегают друг к другу и сделаны из проводника с очень малым поперечным сечением, индуктивность выражается следующей формулой:

,                                                          (3)

где  - плотность намотки витков соленоида,  - объем соленоида,  - магнитная проницаемость вещества сердечника.

Если сила тока, протекающего по контуру, изменяется со временем, то в соответствии с законом Фарадея, в контуре наводится ЭДС самоиндукции :

Если контур с током не деформируется и магнитная проницаемость среды  не изменяется (нет ферромагнетиков в магнитном поле контура), то  и

.                                                 (4)

По правилу Ленца ЭДС самоиндукции противодействует изменению тока в контуре, замедляя как его возрастание, так и убывание.

2. Закон изменения тока в цепи при подключении и отключении источника, его применение для определения индуктивности.

Найдем изменение тока в цепи, индуктивность которой равна , а активное сопротивление - .

Если внешнее магнитное поле отсутствует или постоянно, а контур неподвижен, то индукционные явления обусловлены только самоиндукцией.

Из закона Ома для замкнутой цепи, в которой действует источник ЭДС , а общее активное сопротивление , сила тока равна

Для нахождения зависимости силы тока от времени разделим переменные:

.

Полагая  постоянными интегрируя, получаем:

где  - постоянная интегрирования, значение которой определяется начальными условиями решаемой задачи.

Пусть в момент времени  сила тока . Тогда

Выразив силу тока, получим

                          (5)

Из этой общей формулы можно получить зависимость силы тока от времени при замыкании цепи. В этом случае начальный ток равен нулю  и выражение (5) приобретает вид:

                                             (6)

Из этой формулы видно, что сила тока при замыкании цепи постепенно увеличивается, стремясь к , соответствующей величине постоянного тока (Рис. 1). Нарастание тока происходит тем медленнее, чем меньше отношение  в показателе степени экспоненты или больше обратное отношение , физический смысл которого обсуждается ниже.

Если же в момент времени  при силе тока  источник ЭДС отключить () сохранив замкнутость цепи, то из формулы (5) получим следующую зависимость силы тока от времени:

                                               (7)

В этом случае сила тока в цепи постепенно уменьшается от начального значения , стремясь к нулю. При этом за время  (время релаксации) сила тока изменяется в  раз.

Рис. 1

Следует заметить, что в опыте удобнее снимать вместо зависимости силы тока в цепи от времени  зависимость напряжения на некотором известном активном сопротивлении , последовательно включенном в цепь, от времени . Напряжение в этом случае будет пропорционально силе тока.

Из сказанного ясно, что, измерив силу токов (или напряжения) в некоторые моменты времени ,  и зная, кроме того, величину общего активного сопротивления контура , можно с помощью зависимостей (6) или (7) определить индуктивность контура .