Изучение сложения колебаний

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 21

ИЗУЧЕНИЕ СЛОЖЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы

Изучение сложения одинаково направленных и взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с помощью осциллографа.

Методические указания

1. Для изучения сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с равными частотами собирают схему, показанную на рис.1. Схема состоит из звукового генератора 3Г, подключенного к цепочке последовательно соединенных активного сопротивления R и реактивного (емкостного или индуктивного) сопротивления Х. Вход канала I осциллографа (ОСЦ) подключен к точкам 1 и 3 и, следовательно, измеряет сигнал непосредственно с 3Г. Вход канала II подключен к точкам 2 и 3, на него подается напряжение с реактивного сопротивления Х. Каналы ОСЦ включаются таким образом, чтобы оба поступающие на них сигнала отклоняли луч на экране ОСЦ вдоль вертикальной оси y. При этом включается генератор развертки осциллографа, что позволяет наблюдать изменение сигналов со временем.

Колебания напряжения на сопротивлении Х являются вынужденными, они определяются колебаниями звукового генератора 3Г, частота которых n. Следовательно, на каналы I и II осциллографа подаются гармонические колебания с равными частотами.

Известно [2], [3], что между вынужденными колебаниями напряжения на реактивном сопротивлении Х в последовательной R-Х цепочке и колебаниями генератора 3Г может возникать сдвиг по фазе, величина которого зависит от частоты вынужденных колебаний n, а также от численных значений сопротивлений Rи Х.

Теоретически сложение однонаправленных гармонических колебаний удобно осуществлять с помощью метода векторных диаграмм [1].

Пусть напряжения, поступающие на первый и второй каналы ОСЦ с ЗГ и реактивного сопротивления соответственно, изменяются по закону

,                                             (1)

,                                            (2)

где w — циклическая частота колебаний.

Тогда, пользуясь методом векторных диаграмм, можно показать, что суммарное напряжение будет определяться выражением

,                                            (3)

где                          ,                              (4)

                                    (5)

Из формулы (4) видно, что только при отсутствии сдвига фаз , амплитуда суммарных колебаний равна сумме амплитуд складываемых колебаний . Если же , то .

В экспериментах сдвиг фаз между двумя колебаниями с одинаковыми частотами удобно определять путем их сравнения, используя двухканальный режим работы осциллографа. При этом один из сигналов подается на вход первого канала, а другой – на вход второго. Должен быть включен генератор развертки.

Рис. 2

По осциллограмме (см. рис.2) сдвиг фаз между колебаниями находится по формуле

(в градусах)       или  (в радианах).

В данной лабораторной работе сложение колебаний, одно из которых подаётся на первый, а другое - на второй канал, осуществляется автоматически самим осциллографом при включении нужных управляющих кнопок (см. задание к данной лаб. работе № 21 и инструкцию по эксплуатации осциллографа).

Важно отметить, что колебания напряжения на ЗГ представляют собой сумму колебаний напряжения на последовательно соединенных активном R и реактивном X сопротивлениях. Это позволяет, зная характеристики колебаний на ЗГ и X, определить характеристики колебаний на R.

2. Для изучения сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с одинаковыми частотами также используется схема рис.1. С помощью управляющих кнопок осциллографа ОСЦ производится отключение генератора развертки и меняется направление отклонения луча одного из каналов с оси  y на отклонение вдоль оси  x. При этом траектория луча на экране осциллографа будет являться результатом сложения тех же колебаний (1) и (2), но как взаимно перпендикулярных.

Исключив из формул (1) и (2) время, можно получить уравнение этой траектории [1]:

                           (6)

где  — разность фаз складываемых колебаний. Это уравнение эллипса, ориентация которого относительно осей x и y и форма определяются величиной разности фаз Dj и амплитудами колебаний. Сказанное означает, что получив в опыте при сложении взаимно перпендикулярных колебаний эллипс, с помощью, например, электронного осциллографа и измерив в делениях шкалы экрана показанные на рис.2 параметры, можно определить амплитуды и разность фаз складываемых колебаний по формулам

,

,

.

Здесь K_x, K_y – коэффициенты усиления осциллографа по осям xи y соответственно, измеряемые в В/дел.

Рис.3

3. Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний n_х и n_у не равны друг другу, то траектория уже не будет эллипсом, а имеет вид сложной незамкнутой линии. Только, когда частоты колебаний n_х и n_у отличаются в целое число раз, траектории получаются замкнутыми и называются фигурами Лиссажу.

Форма фигуры Лиссажу позволяет определить отношение частот складываемых колебаний. Для этого достаточно подсчитать число пересечений фигуры с осью x и осью y. Если ось координат проходит через точку пересечения ветвей фигуры Лиссажу, то эту точку считают дважды.

Для фигуры Лиссажу, изображенной на рис.4, число пересечений ее ветвей с осью x равно n_х = 2, а с осью y равно n_у = 4. Можно показать, что отношение частот складываемых колебаний связано с числом пересечений формулой

                    (7)

Для примера, представленного на рис.4, это отношение получается   .

Эллипс — простейшая фигура Лиссажу, для которой  .

Пользуясь методом фигур Лиссажу удобно сравнивать частоты колебаний. Например, можно с помощью эталонного генератора градуировать шкалу генератора неизвестных частот.

Для получения фигур Лиссажу собирают схему рис.5. Схема состоит из генератора переменного напряжения ГПН, звукового генератора ЗГ и осциллографа ОСЦ. Сигналы с ГПН и ЗГ подаются на каналы I и II осциллографа, включенные как отклоняющие луч во взаимно перпендикулярных направлениях (см. задание к данной лаб. работе № 21 и инструкцию по эксплуатации осциллографа).