Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть существует такое , что вычислены по (б) и матрицы - элементы (в). Покажем, что такая пара матриц удовлетворяет (а). Подставим (б) в левую часть (а) и перегруппируем члены:
.
Проанализируем выражения в скобках. Из (в) найдем элементы матрицы произведения, стоящие в первой строке и первом столбце, а также во второй строке и первом столбце:
, -.
Вернемся к предыдущим вычислениям. Теперь очевидно, что в правой части осталось . Доказали, что , выбранные по (б), удовлетворяют (а).
Пусть - решение (а). Покажем, что оно имеет вид (б). Из произведения левой части (в) найдем элемент (1, 1): . Умножим его слева на : . Введем обозначения: , . Из предыдущего уравнения получили , т.е. - частное решение (particular solution) уравнения (а). Возьмем уравнение (а) и перейдем к однородному уравнению (homogeneous equation):
. (г)
Пусть - какое-нибудь решение однородного уравнения (г) (полиномиальное!). Подставим его в (г): . Из уравнения (в) для элемента (2, 1) имеем , откуда
. (д)
Продолжим наши вычисления:
.
Последнее равенство получили в результате введения новой матрицы:
. (е)
Таким образом, получили общее решение однородного уравнения (г):
, . (ж)
Второе уравнение непосредственно следует из (е).
Покажем, что решение (ж) – полиномиальное. Для этого достаточно показать, что (е) полиномиальное. Воспользуемся элементом (2, 2) из (в): . Умножим его слева на :
В последнем равенстве использованы формулы (ж).
Получены частное решение неоднородного уравнения и общее решение однородного уравнения. Доказали, что решение уравнения (а) имеет вид (б).
Его можно записать так:
.
Правая матрица – это унимодальная матрица, так как ее обратная матрица также полиномиальная (в). Следовательно,
.
Доказали последнее утверждение: матрицы взаимно простые слева тогда и только тогда, когда матрицы взаимно простые слева.
S140. Пусть для объекта дано внутренне правильное взаимно простое разложение , где - невырожденная столбцово приведенная матрица, столбцовые степени которой равны и матрица коэффициентов при высших столбцовых степенях равна единичной . Справедливо следующее утверждение:
и 3).
Утверждения 1), 2), 3) даны ниже:
1) уравнение компенсатора
(а)
имеет решение такое, что и и левое разложение внутренне правильное, Х – столбцово приведенная и внутренне правильная со столбцовыми степенями равными , - коэффициентная матрица при высших столбцовых степенях;
2) - приведенная по строчкам и столбцам; - степени строк; - степени столбцов. Здесь , .
Данное утверждение эквивалентно следующему:
, (б)
где - биправильная, причем ;
3) для заданного решение уравнения (а) удовлетворяет условию
. (в)
П р и м е ч а н и е. Если выполнены условия 2) и 3), то
, (г)
причем если , , .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что из 1) следует 2) и 3). Учтем, что: - внутренне правильное правое взаимно простое разложение: - приведенная по столбцам матрица; Р – строго правильная матрица. Отсюда следует справедливость равенств
, (д)
где - биправильная и
. (е)
Так как левое внутренне правильное разложение, то , можем рассуждать так же, как и при рассмотрении объекта, т.е. при написании соотношений (д):
, . (ж)
Здесь - биправильная, т.е.
. (з)
Из (ж) и (д) следует (б) (подставим первое уравнение из (д) и первое уравнение из (ж) в первый член уравнения (а)):
.
Несложно получить
.
Как мы знаем, матрицы, стоящие в круглых скобках, биправильные. Поэтому выражение в правой части, которое обозначим через
- (к)
биправильное. Обозначим . Так как
, то
. (л)
Из (ж) (второе уравнение) следует (в). Наконец, (л) – это (г).
Докажем, что из 2) и 3) следует 1). Отметим прежде всего, что (д), (е) и в этом случае справедливы, а (в) влечет (ж) (второе уравнение). Нам нужно показать, что подстановка Х и , удовлетворяющих условиям 2) и 3), в левую часть уравнения (а) удовлетворяет этому уравнению. Подставим первое уравнение из (д) и уравнение (б) в (а):
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.