Информатика и выч. техника \ Проектирование систем управления

Примеры. Другие задачи синтеза. Пример реализации компенсатора. Асимптотическое отслеживание, компенсация возмущений и развязывание. Точная реализация модели, страница 3

Рассмотрим

. (6.6)

Мы утверждаем, что если полного строчного ранга в , тогда правильная, если и только если

(6.7)

где обозначает степень i-й строки. Если квадратная, это утверждение, по существу, совпадает с теоремой 2.11.

Условие правильности в (6.7) не дает нам подсказки как находить минимальной степени. Ниже мы дадим такой метод. Пусть . Тогда (6.5) преобразуется в или

(6.8)

Это полиномиальное уравнение изучается во втором разделе; следовательно, все результаты, обсуждаемые во второй части, могут быть непосредственно применены. Пусть обозначает правое ядро (ненулевое пространство) (6.8). Его размерность, согласно известной теореме,

Сейчас мы можем применить теорему 2.16 для решения (6.8). Сформируем обобщенный результант из коэффициентов матриц и в соответствии с теоремой 2.16. Затем исследуем линейную зависимость столбцов в направлении слева направо, используя столбцовый поисковый алгоритм. Здесь будет в точности первично зависимых столбцов в . Пусть полиномиальная матрица будет решением, соответствующим этим первично зависимым столбцам. Тогда в соответствии с теоремой, двойственной теореме 2.16, столбцово неприводимая и столбцово приводимая, и является минимальным полиномиальным базисом правого ядра (6.8).

Пусть - столбцово степенная коэффициентная матрица . Для удобства обсуждения мы положим и разобьем и :

(6.9)

где и p*r и и r*r матрицы. Отметим, что ввиду положения правильности , матрица в соответствии стеоремой 2.16 всегда правильная, так что и столбцово приведенная или полного столбцового ранга. В задаче минимального синтеза в (6.8) необязательно квадратная и может быть не определена; следовательно, нет гарантии, что - столбцово степенная коэффициентная матрица (6.9), полного столбцового ранга. Отметим, что имеет, как следует из столбцового поискового алгоритма, неполный столбцовый ранг.

Теорема 6.1. Если в (6.9) минимальный полиномиальный базис (6.8), полученный по теореме 2.16, то правильная, если и только если ранга r.

В этой теореме условие полного столбцового ранга или то, что минимальный базис существенно; в противном случае теорема не имеет места. Теорема соответствует случаю, когда . Обсудим сейчас общий случай. Если , очевидно, что решения уравнения (6.4), правильного или неправильного, нет. Если матрицы и размера имеют ранг и теорема 6.1 еще имеет место. В этом случае, с целью получить минимальной решение, упорядочим по возрастанию степеней столбцов, так что Тогда первые r столбцов при несингулярной дают минимальное правильное решение (6.4). На этом завершим обсуждение задачи минимального синтеза.

6.4. Еще один пример синтеза

Ниже приведем пример минимального синтеза.

Пример 4. Найдем минимальное правильное решение

Умножив на и подставив , получим

Ясно, что . В соответствии с теоремой, двойственной теореме 2.16, сформируем и применим столбцовый поисковый алгоритм.

Найдем:

Здесь x обозначает ненулевые столбики и 0 нулевые столбики. Обозначение « » объяснено во втором разделе. В матрице четыре линейно независимых столбца. Три из них первично зависимые столбцы помечены стрелками. Отметим, что по теореме 2.16 линейно независимые столбцы могут появиться только как в -столбцах, так и в -столбцах, как показано в этом примере. По трем первично зависимым столбцам, используя дуальную формулу к (1.9), вычислим:

что приводит немедленно к

имеет ранг 3 для каждого из , т.е. она столбцово неприводима. К тому же она столбцово приведенная и имеет полный столбцовый ранг. Следовательно, - минимальный полиномиальный базис для правого нулевого пространства (ядра). Первый и третий столбцы образуют ранга 2; тогда мы имеем: