Информатика и выч. техника \ Проектирование систем управления

Нули и полюса многомерной системы. Минимальная реализация, степень Макмиллана, столбцовая/строчная приведенность, передаточные нули, страница 4

S60. Возьмем передаточную функцию , n_i £ n₀. Пусть . Тогда существуют вектор и вектор такие, что

(а)

и выход . В оригиналах , где .

Прокомментируем утверждение. в оригиналах соответствует набор d импульсов и их производных, т.е. для . Для n(t) тоже можем сказать, что это набор производных d импульсов, если вспомним, что - полином от s. Таким образом, утверждается, что если z – ноль и выбран вход вида (а), то на выходе для получим 0. Такой входной сигнал блокируется, и поэтому нули z называют передаточными нулями (zero of transmission).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем левое взаимно простое разложение для . Тогда существуют унимодальные матрицы такие, что

. (б)

Возьмем ноль передаточной функции . Тогда по 2) из S46 . Следовательно, $ такой, что . Определим вектор

. (в)

Приступим к выбору второй компоненты вектора управления u(t) (а):

Тогда

Воспользуемся (в) и (а):

Видим, что - полиномиальный вектор, т.к. – унимодальная и - полиномиальная (в).

S61. Пусть , , Возьмем , . Тогда существует вектор , такой, что для всякого , существует полиномиальный вектор такой, что если возьмем вход

то выход будет таким, что удовлетворится условие для "t ³ 0.

К о м м е н т а р и й. Можно сказать, что передача сигнала блокируется на выходе в направлении вектора h.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – левое взаимно простое разложение Н. Возьмем . Тогда (S46) . Следовательно, существует вектор такой, что

. (а)

Ввиду взаимной простоты разложения . Из (а) следует

(б)

Возьмем произвольный вектор :

(в)

Так как с учетом (а) , то можно рассматривать как передаточную функцию. Найдем взаимно простое разложение (n, d):

. (г)

Тогда так как, то

(д)

Ввиду такое, что . Поэтому

Можем приступить к конструированию управления: выберем

(е)

(ж)

Вычислим произведение :

Здесь использованы последовательно (б), (ж), (в), (г), (е), (д). Показали, что

В оригиналах это соответствует ,т.е. для

S62. Рассмотрим переход от полиномиального описания к описанию в пространстве состояний. Дано представление

(а)

или кратко . Пусть соответствующая передаточная функция будет строго правильная, что соответствует условию

Степень столбца j матрицы N_r не больше степени столбца j матрицы D_r, которую обозначили через k_j. Пусть D_r – столбцово приведенная, т.е. , где n_i – число входов. Рассмотрим вопрос перехода от к описанию в пространстве состояний [А, В, С, 0]:

Разложим матрицы D_r(р) и N_r(р):

(б)

где D_h – матрица коэффициентов при высших (highest) степенях (по столбцам), D_l – коэффициентная матрица, матрицы S(p) и Y(p) таковы:

, .

Подставим (б) в (а):

(в)

Введем вектор состояния

(г)

Фактически все необходимые соотношения приведены. Дальнейшие пояснения смотрите в примере.

$18. Найти минимальную реализацию (А, В, С) для системы, описываемой полиномиальными матрицами:

, .

Здесь n₀ = 2, n_i = 2. Степень столбца 1равна 2, степень столбца 2 равна 1: k₁ = 2, k₂ = 1, откуда n = k₁ + k₂ = 3. С другой стороны, . Следовательно, матрица D_r(p) – столбцово приведенная. Несложно проверить, что передаточная функция строго правильная. Выпишем соответствующие матрицы: