Информатика и выч. техника \ Проектирование систем управления

Нули и полюса многомерной системы. Минимальная реализация, степень Макмиллана, столбцовая/строчная приведенность, передаточные нули, страница 3

(в)

что равносильно утверждению: “z – ненаблюдаемое собственное значение”. Покажем это. Так как H = C(zI – A – BK)^-1, то пару матриц С, (zI – A – BK) можно рассматривать как правое разложение, но не взаимно простое ввиду предыдущего неравенства. Следовательно, есть матрица R(s), не унимодальная и входящая в обе матрицы разложения, которая сокращается при вычислении H.

Таким образом, утверждение 1) можно сформулировать так: “для любого нуля z существует обратная связь по состоянию К такая, что в системе нуль z оказывается ненаблюдаемым собственным значением”.

Формулы (б) эквивалентны:

т.е. z – неуправляемое собственное значение. Утверждение 2) формулируется так: для всякого нуля z существует обратная связь по выходу К такая, что в системе (с обратной связью!) z оказывается неуправляемым собственным значением.

Д о к а з а т е л ь с т в о утверждения 1). Покажем, что из формулы (а), равносильной (в), следует z Î Z[H]. Но (в) эквивалентно

т.е. z – нуль для Н: системная матрица при заданном z такова, что ранг ее понижен при векторе . Показали, что z Î Z[H].

Покажем, что из z Î Z[H] следует (а). Пусть z Î Z[H]. Тогда rkP(z)<n + +min(n₀,n_i). Следовательно, существуют такие х₀, u₀, что

. (г)

Так как [А, В, С, 0] - минимальная реализация, то rk B = n_i (кстати, rk C = n₀) откуда $ B_l такая, что B_lB = . Из (г) найдем:

(zI – A)x₀ + Bu₀ = 0. (д)

Умножим слева на B_l: B_l(zI – A)x₀ + u₀ = 0. Обозначим B_l(zI – A) через К (z - число!). Получим , откуда . Найденное u₀ подставим в (д): . Это равносильно (А + ВК)х₀ = zх₀. Из (г) сразу же следует Сх₀ = 0. Соотношения формулы (а) доказаны.

S55. Пусть . Нули и полюса Н на бесконечности (poles and zeros at infinity) – это нули и полюса отображения l ® Н(l^-1) при l = 0. Например отображение l ® l^-1 дает соответствие: l = 0 ® l^-1= ¥.

$16. Показать справедливость:

1) если - невырожденная и столбцово приведенная полиномиальная матрица, то D не имеет нулей в бесконечности;

2) пусть . Н правильная тогда и только тогда, когда Н не имеет полюсов в ¥;

3) пусть - невырожденная. D не имеет нулей в бесконечности тогда и только тогда, когда правильная.

S56. Пусть . Максимальная степень миноров всех порядков матрицы D называется степенью Макмиллана (McMillan degree) и обозначается .

S57. - допустим, невырожденная полиномиальная матрица. В этом случае D не имеет нулей в ¥ тогда и только тогда, когда степень определителя матрицы D равна степени Макмиллана.

(а)

$17. У матрицы

равенство (а) из S57 не выполняется, следовательно, D имеет нули в ¥.

S58. Пусть – столбцово приведенная (colomn reduced), где D, RÎ, D – невырожденная (nonsingular), R – унимодальная. Тогда D не имеет нулей в ¥ (D правильная !) тогда и только тогда, когда .

Доказательство несложно. Из определения D₁ имеем , т.е. - правое разложение передаточной функции . Если воспользоваться S41, получим, что правильная, откуда (см. $$16, 3) следует, что D – правильная и искомое утверждение доказано.

S59. - так обозначим изображение передаточной функции. Пусть . Тогда существует управление

(а)

такое, что

где оригинал равен

. (б)

Здесь – k-я производная дельта-функции и в изображениях (а) имеет вид . Можно сказать, что управление u(t) (а) ²создает² начальные условия для такие, что при имеет место (б).