О разрешимости задачи автономизации многоканальной системы. Часть 2. Синтез регулятора: решение диофантова уравнения

СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ. – 2010. – № 3(61). – 25–34

УДК 681.513

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ АВТОНОМИЗАЦИИ

МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ* ч.2

А.А. Воевода, Е.В. ШОБА

При некоторых соотношениях параметров многоканальной системы задача автономизации становится неразрешимой. Подобного рода особенности многоканальных систем рассмотрены на примере двухканальной системы, состоящей из трех масс, соединенных упругими звеньями.

Ключевые слова: многоканальная система, трехмассовая система, синтез, полиномиальное разложение, автономизация, желаемая характеристическая полиномиальная матрица.

Задача синтеза линейной многоканальной системы методом разложения на полиномиальные матрицы и решения диофантова уравнения, на примере трехмассовой системы с двумя управляемыми сигналами и двумя регулирующими воздействиями (два входа – два выхода), рассмотрена в [1], где получено описание в виде левого и правого полиномиального матричного разложения. Данная работа продолжает исследования, начатые в [2-5], и базирующиеся на [6].

5. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА: РЕШЕНИЕ ДИОФАНТОВА УРАВНЕНИЯ

Запишем диофантово уравнение в матричном виде:

,                             (1)

где

,,               (2)

Выпишем матрицы  и  [1]:

              (3)

Вспомним, что размеры всех матриц 22 и развернем (1):

.                                                 (4)

Матрицу  выбрали диагональной. Рассмотрим вопрос выбора степеней полиномов ,  и .

5.1. Начнем с выбора степеней  - ограничимся степенью 4-е  в предположении, что регулятор правильный. Из рассмотрения выше приведенного матричного уравнения (4) очевидно, что

.

Для правильности матричной передаточной функции регулятора , заданного правым взаимно простым полиномиальным разложением в предположении, что матрица  столбцово-приведенная (степень определителя ее равна сумме столбцовых степеней) необходимо и достаточно, чтобы столбцовые степени матрицы “числителя” регулятора были не больше столбцовых степеней “знаменателя” регулятора:

.

Таким образом, очевидно, что необходимо выполнить условия:

.

При сделанных предположениях после подстановки матричных полиномов в уравнение (4) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях получим 7-мь матричных уравнений с 6-ью матричными неизвестными. Данная система почти всегда не имеет решения.

5.2. Повысим степени полиномов : пусть . Проводя анализ подобно выше приведенному получим:

,

.

Можем выписать “структуру” матриц  и :

,                   (5)

,                    (6)

где звездочками помечены элементы, подлежащие определению.

Подставим , , ,  из (2), (3), (5) в (1):

.

Приравняв коэффициенты при  с одинаковыми степенями в левой и правой части получим систему линейных уравнений, которую можно записать в матричном виде

.                                           (7)

Здесь:

, ,

.                 (8)

Получили систему матричных уравнений с 8-ью матричными неизвестными и восемью матричными уравнениями. Подставим значения ,  из (3) в (8):

.

Учтем структуру регулятора, а именно, что вторые столбики матриц , , ,  - нулевые (5), (6). Это соответствует нулевым значениям столбиков 2, 4, 10, 12 матрицы :

.

При умножении  на  строки 2, 4, 10, 12 матрицы  не играют роли и их можно выбросить вместе со столбцами 2, 4, 10, 12 матриц . После этого столбцы 1, 2, 3, 4 матрицы  оказываются нулевыми. Следовательно, столбцы 1, 2, 3, 4 матрицы  обязаны быть нулевыми – это ограничение на выбор матрицы . В итоге мы обязаны выбросить из  и из  столбцы 1, 2, 3, 4. Матрицу  после выбрасывания столбцов 2, 4, 10, 12 обозначим через :

,

 .

Матрицу  после выбрасывания строк 2, 4, 10, 12 и столбцов 1, 2, 3, 4 обозначили через . Матрицу  после выбрасывания столбцов 1, 2, 3, 4 обозначим через :

.

Получили систему уравнений . Проверим матрицу  на вырожденность - . Нужно убрать две линейно зависимые строки. По очереди убираем по одной строке из матрицы : при удалении строк 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16 (в исходной нумерации) ранг не понижается. Следовательно, строки нужно убирать из этого набора. Теперь будем убирать по две строки в матрице  из набора 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16. При удалении строк 7 и 14 (нумерация строк сохранена из матрицы ) ранг остается равным 10. Следовательно, строки 7 и 14 линейно зависят от остальных строк. В уравнении  в матрице  им соответствуют столбцы 7 и 14, т.е. первый столбик  (обозначим ) и второй столбик  (обозначим ). Левую часть  можем “расщепить” на две части:

.                                      (9)

Здесь:

,

,

. 

Ранг матрицы  десять а столбцов 12 – найдем линейно зависимые