Моделирование переходного режима энергосистемы (Лабораторная работа № 9), страница 2

i₂                                                                                                                    E_m1=100 B;

L₃                                  2                      C₅                                                     j_e1=15 °;

1                                                                             3                      R₂=500 Ом;

i₃                                         i₅                                                                                           L₃=0,1 Гн

S               u₅                          i₆                                    R₄=10 Oм;

i₁                                                                                                                                                   C₅=100 мкФ;

R₁                                                R₄                               R₆                                      R₆=5 Ом;

e₆=E_m6sin(wt+j_e6);

e₁                                                i₄                                                    e₆                                  E_m6=120 B;

j_e6=75 °;

w=314,16 1/c;

                                                0

Рис. 1. Схема для моделирования переходного режима, который появляется после размыкания ключа S.

элементы: индуктивность L3 и конденсатор C5. Соответственно это система дифференциальных уравнений в нормальной форме должна содержать два дифференциальных уравнения  для переменных  i3(t)  и  u5(t).

Система (2) не является замкнутой, потому что в пять уравнений входят шесть переменных; i1, i2, i3, i5, i6, u3. Для приведения ее к замкнутому виду дополним систему (2) вторым уравнением с системы (1), которое связывает ток i5  и напряжение u5 на конденсаторах C5. После этого система (2) примет вид:

i₁R₁+L₃i¢₃+u₅-i₆R₆=e₁-e₆;

i₂R₂-u₅-L₃i¢₃=0;

i₁=i₂+i₃;

i₃=i₅;                                                                                                   (3)

i₂+i₅+i₆=0;

i₅=C₅u¢₅.

                    Система (3) является замкнутой: - в шесть уравнений входят шесть неизвестных: i1, i2, i3, i5, i6, u5. Для получения системы дифференциальных уравнений в нормальной форме необходимо выделить с системы (3) два дифф. уравнения, в которых две неизвестные переменные i3 i u5 находятся под знаками производных. Для исключения переменных i1, i2, i5, i6 с системы (3) используем метод подстановки.

Исключаем ток i1 с системы (3). Для этого выражаем с третьего уравнения системы (3) ток i1:

i1=i2+i3                                                                                              (4)

и подставляем (4) в первое уравнение системы (3), исключая ток i1 с системы (3):

(i₂+i₃)R₁+L₃i¢₃+u₅-i₆R₆=e₁-e₆;

i₂R₂-u₅-L₃i¢₃=0;

i₃=i₅;                                                                                                   (5)

i₂+i₅+i₆=0;

i₅=C₅u¢₅.

Таким образом, в системе (5) отсутствует ток i1  и четвертое уравнение системы (3).

Исключаем теперь ток i5 с системы (5), используя третье уравнение системы (5):

i₅=i₃                                                                                                                                                                        (6)

и подставляя (6) в (5). Имеем:

i₂R₁+i₃R₁+L₃i¢₃+u₅-i₆R₆=e₁-e₆;

i₂R₂-u₅-L₃i¢₃=0;

i₂+i₃+i₆=0;                                                                                          (7)

i₃=C₅u¢₅.

Исключаем теперь с системы (7) ток i2, используя третье уравнение системы (7):

i₂=-i₃-i₆                                                                                                                                                               (8)

и подставляя (8) в (7):

-i₆R₁+L₃i¢₃+u₅-i₆R₆=e₁-e₆;

-i₃R₂-i₆R₂-u₅-L₃i¢₃=0;                                                             (9)

i₃=C₅u¢₅.

Наконец, исключаем с системы (9) ток i6, для чего выражаем со второго уравнения системы (9) ток i6:

                    i₆=-i₃-u₅/R₂-(L₃/R₂)i¢₃                                                            (10)

и подставляем его в первое уравнение системы (9). После преобразований получим:

i¢₃=(R₂/(L₃(R₁+R₂+R₆)))(e₁-e₆-i₃(R₁+R₆)-u₅((R₁+R₂+R₆)/R₂));

u¢₅=(1/C₅)i₃,                                                                                        (11)

или в общем виде:

i¢₃=f₁(i₃,u₅,t);