Динамика механических систем. Определение ускорения тел системы, направления и величины внутренних реакций, страница 3

Зависимости между перемещениями имеют вид

                                                     

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3.

.                                                      

Кинетическая энергия колеса 1:

, а с учетом (1.2) и

.                                          

Кинетическая энергия колеса 2 сложится из кинетической энергии вращательного и поступательного движений:

, здесь - момент инерции колеса 2 относительно оси перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через центр масс колеса 2. учитывая (1.4) и (2.3) имеем

.                       

Кинетическая энергия груза поступательно движущегося 3:

.                                             

Кинетическая энергия системы определится по формуле (2.5) с учетом (2.6), (2.7) и (2.8).

, или

,                                                      где - приведенный к колесу 1 момент инерции системы, равный

.                                      

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе на заданном ее перемещении. Покажем внешние силы, приложенные к системе.

Работа вращающего момента приложенного к колесу 1

.                                                 

Работа пары сил сопротивления приложенной к колесу 1

.                                                

Работа силы тяжести колеса 2

, учитывая (2.4)

.                                          

Работа пары сил сопротивления качению колеса 2

, с учетом (2.4) и (1.3)

.                                         

Работа силы тяжести груза 3

, учитывая (2.4)

.                                           

Работа силы трения скольжения груза 3

, или с учетом (2.4) и (1.5)

                                          

Сумма работ внешних сил определяется сложением работ вычисляемых по формулам (2.15)-(2.16):

, или

,                                                 где - приведенный к колесу 1 момент внешних сил, равный

.      

Подставляя (2.9) и (2.18) в (2.2) получим

, откуда находим

, или с учетом выражений для  и  (формулы (2.10) и (2.18))

.

Этап 3. Принцип виртуальных (возможных) перемещений

Задана механическая система (рис. 4), находящаяся в статическом равновесии. Необходимо определить деформацию пружины, применяя принцип возможных перемещений. Необходимые исходные данные приведены в табл. 2.

табл. 2 Исходные данные.

, см	, см	, Н/см	, Н	, Н	, Нм
60	50	12	150	120	250

Ошибка! Раздел не указан.

рис. 4

Для решения задачи применим принцип виртуальных перемещений, который в случае голономной системы является принципом возможных перемещений и гласит, что сумма работ активных сил на любом возможном перемещении системы при ее равновесии равна нулю.[3]

Для того, чтобы определить деформацию пружины необходимо определить реакцию , для чего необходимо отбросить данную связь заменив ее действие реакцией  считая ее активной силой, сообщить системе малое возможное перемещение и составить уравнение работ, выражающее принцип возможных перемещений:

.

Оставшиеся связи, наложенные на систему, разрешают следующие возможные перемещения: поворот кривошипов  и  вокруг неподвижных точек  и  соответственно, перемещение точек ,  и  на ,  и  соответственно и поворот треугольника  на угол .

Замечая, что ,  и  (здесь точка  – мгновенный центр перемещений тела ) запишем уравнение работ для заданной системы.

,                   где   − сила упругости пружины, равная

.                                                        

Выразим все возможные перемещения, через возможное перемещение .[4]

, расстояние  определим из :

, но , так как – прямоугольный и , тогда

,

.                                           

Возможное перемещение выразится следующим образом:

.                      

Возможное перемещение

, где , тогда

.                             

Определим .

       

Подставляя (3.2) – (3.6)   в (3.1), получим следующее уравнение

, откуда находим

32,8 см.