Динамика механических систем. Определение ускорения тел системы, направления и величины внутренних реакций, страница 2

, или перенося неизвестные слагаемые в левую часть уравнений

;                                          (b)

.                                   (c)

Составим дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3:

 и  .

Здесь  и  проекции главного вектора внешних сил приложенных к грузу 3 на оси  и  соответственно. Положительное направление оси  принято в сторону движения груза 3, направление оси  значение не имеет, поскольку вдоль нее движения груза не происходит, а это значит, что

.

Из полученного уравнения равновесия находим

.

Проекция главного вектора внешних сил на ось  рана

, где сила трения скольжения определится по формуле

.                                           

Таким образом, запишем полученное дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3:

, или

.                                       (d)

К полученным четырем уравнениям ((a)– (d) ) добавим уравнения связей.

Поскольку нить, соединяющая груз 3 и обод колеса 1 нерастяжима и все время движения параллельна оси , то можно записать следующее уравнение связей

, или .                                          

Дифференцируя (1.6) по времени получим

, или

.                                                        (e)

Нить, соединяющая колеса 1 и 2 нерастяжима и все время движения параллельна оси , а также колесо 2 катится без проскальзывания, следовательно

, или

;                                                   

.                                           

Дифференцируя (1.7) и (1.8) по времени получим

;                                                     (f)

.                                                      (g)

Таким образом, с учетом (1.1) получена нормальная система линейных уравнений (a)–(g) относительно , , , ,   и .

                             

Решим полученную систему линейных уравнений (1.9), для чего выразим из трех последних уравнений , и  через :

                                            

Подставим полученные выражения для , и  во второе третье и четвертое уравнения системы (1.9), после чего порядок системы уменьшится на 3 и будем иметь следующую систему линейных уравнений 4-го порядка:

                      

Умножая второе уравнение системы (1.11) на  и складывая его с третьим, получим следующую систему 3-го порядка

                  

Теперь, умножая второе уравнение системы (1.12) на , а третье - на  и складывая все три уравнения системы будем иметь следующее уравнение

, откуда

.

Таким образом, найдено угловое ускорение колеса 1.

Этап 2. Теорема об изменении кинетической энергии системы

Необходимо определить угловую скорость  колеса 1 в положении, когда оно повернется на угол  от начла движения. В начальный момент времени система покоилась.

рис. 3

Для определения скорости колеса 1 применим теорему об изменении кинетической  энергии механической системы

,                                            где  и ─ кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;  ─ сумма работ внешних сил, приложенных к системе на перемещении системы из начального положения в конечное;  ─ сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Поскольку в начальный момент времени система покоилась, то

.

Внутренние связи системы идеальны (нити нерастяжимы, тела абсолютно твердые), следовательно

.

Тогда (2.1) принимает вид:

.                                                     

Для определения кинетической энергии  и суммы работ внешних сил надо изобразить систему в конечном положении.

Запишем зависимости между скоростями и перемещениями тел системы, т. е. уравнения связей, при этом скорости и перемещения выразим соответственно через скорость и перемещение колеса 1.

Угловая скорость колеса 2 выразится следующим образом

, а скорость го центра масс точки

.

Скорость груза 3

,

Таким образом, получены следующие кинематические соотношения между скоростями тел системы

                                                     

Зависимости между перемещениями тел можно получить интегрированием соотношений (2.3) по времени

;

;

,