Интерполяционные многочлены Ньютона

6. Интерполяционные многочлены Ньютона

Вариант 5

Цель работы: для функции, заданной таблично, найти приближенное значение функции в точках ,  и значение производной в точке .

Функция Г

Точки интерполяции

ПРИМЕР. Функция задана таблицей 6.1. Требуется найти приближенное значение функции  в точках =0,03; =0,86 и значение производной функции в точке =0,02.

Таблица 6.1

Составим таблицу конечных разностей 6.2 для исходной функции. Таблицу обрываем на четвертых разностях, так как конечные разности четвертого порядка практически постоянны.

Точка =0,03 находится в начале таблицы 6.1, поэтому воспользуемся первым интерполяционным многочленом Ньютона

при ; ; ; .

Имеем

.

Таблица 6.2

Вычисления представим в виде таблицы 6.3.

Таблица 6.3

Ответ: .

Вычисления производим с шестью знаками после запятой. В ответе последний знак отбрасываем.

Точка =0,86 находится в конце таблицы 6.1, поэтому воспользуемся вторым интерполяционным многочленом Ньютона

при ; ; ; .

Имеем

.

Вычисления представим в виде таблицы 6.4.

Таблица 6.4

Ответ: .

Вычисления производим с шестью знаками после запятой. В ответе последний знак отбрасываем.

В таблице 6.2 конечных разностей жирным шрифтом выделены конечные разности, используемые при вычислении  и .

Вычислим значение производной функции  в точке =0,02. Значение аргумента =0,02 находится в начале таблицы 6.1. Построим интерполяционный многочлен второй степени по первой интерполяционной формуле Ньютона:

.

Производную функции вычисляем приближенно из соотношения:

].

В данном случае ; ; .

Подставляя h, t, значения конечных разностей из таблицы 6.2 в выше приведенную формулу, получаем .