Уравнения высшего порядка (основные определения, формулировка основных теорем, примеры). Маятник без трения вблизи нижнего и верхнего положения равновесия. Теорема Коши существования и единственности решения задачи Коши для уравнения с аналитическим полем

фиксированном t у него будет другое значение x, более того - изменится интервал определения решения.

Аналогичное явление произойдет, если изменить число k - параметр, характеризующий поле скоростей.

Предположим, что поле скоростей дифференциального уравнения однозначно определяются заданием L чисел m₁,m₂,…,m_L (например, в уравнении x'=kx² это одно число k, в уравнении маятника: x'₁=x₂, x'₂=-w²sinx₁-2kx₂ - это два числа k=g/(2m)³0 и w²=g/L). Эти числа как правило называют параметрами уравнения. Удобно рассматривать все параметры уравнения как координаты векторного параметра m=(m₁,m₂,…,m_L)Îℝ^L (1) тогда дифференциальное уравнение может быть записано в виде x'=V(t,x,m) (2). В координатах если уравнение (2) n - мерно, следует писать x'_i=V_i(t,x₁,x₂,…,x_n,m₁,m₂,…,m_L) (i=1,2,..,n) (2').

Существует следующая теорема (о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных и параметров): Предположим, что поле скоростей V(t,x,m) уравнения (2) определено в открытом множестве U пространства ℝ^1+L+n  переменных t.x₁,x₂,…,x_n,m₁,m₂,…,m_L и непрерывно вместе с частной производной: ¶V/¶x=êê(первая строка) ¶V₁/¶x₁,…,¶V₁/¶x_n,……,(последняя строка) ¶V_n/¶x₁,…,¶V_n/¶x_nêê. Для каждой точки (t₀,x₀,m)ÎU рассмотрим непродолжаемое решение x=j(t;t₀,x₀,m) (3) задачи Коши для уравнения (2) с начальными данными (t₀,x₀), определяемое на открытом интервале m₁(t₀,x₀,m)<t<m₂(t₀,x₀,m) (4).

Множество U^~{(t,t₀,x₀,m):(t₀,x₀,m)ÎU, m₁(t₀,x₀,m)<t<m₂(t₀,x₀,m)}Ìℝ^2+n+L (5) открыто. Функция (3) непрерывна на этом множестве U^~ .

Формулировка теоремы закончена.

В координатной форме решение (3) представляет собой совокупность n числовых функций x'_i=j_i(t;t₀,x₀₁,x₀₂,…,x_0n,m₁,m₂,…,m_L) (i=1,2,..,n).

Остановимся также на двух следствиях из теоремы:

- Пусть в условиях теоремы начальные данные t₀,x₀ фиксированы при этом удобно обозначать решение (3) как x=j(t;m). Пусть имеется компактный интервал r₁≤t≤r₂ , содержащий t₀, из области определения решения x=j(t;m^*). Тогда при m достаточно близком к m^* решение x=j(t;m) также определено на интервале r₁≤t≤r₂ . При m®m^* решение j(t;m) равномерно на этом интервале сходится к j(t;m^*).

- Возьмем частный случай, когда фиксирован (или отсутствует, что тоже) параметр m и не будем явно выписывать его среди аргументов решения. В условиях теоремы, пусть имеется компактный интервал r₁≤t≤r₂ , содержащий t₀ из области определения решения x=j(t;t₀,x₀^*). Тогда при x₀ , достаточно близком к x₀^* , решение x=j(t;t₀,x₀) также определено на этом интервале и равномерно на нем сходится к x=j(t;t₀,x₀^*)

31. Теорема Коши существования и единственности решения задачи Коши для уравнения с аналитическим полем. Отыскание решения в виде степенного ряда.

Существуют конструктивные варианты теорем существования решений дифференциальных уравнений, приспособленные для уравнений специального вида и, в силу своей конструктивности, являющиеся одновременно обоснованием приближенных или точных методов решения таких уравнений. Рассмотрим здесь одну из наиболее употребительных теорем такого типа применительно к одномерному уравнению x'=V(t,x) (1).

Теорема (Коши): если правая часть V(t,x):U®Rⁿ (2) уравнения (1) является аналитической функцией в окрестности точки (t₀,x₀)ÎU, то есть разлагается в ней в ряд по степеням t-t₀, x-x₀: V(t,x)=S^µ_m=0S_k+L=m a_kL(t-t₀)^k(x-x₀)^L (23), то в некоторой окрестности точки t₀ оси t существует единственное решение j(е) задачи Коши (1), j(t₀)=x₀. Это решение аналитично, то есть разлагается в степенной ряд вида