Экстремумы функции. Исследование функций с помощью второй производной. Четность и нечетность функции

Прежде всего заметим, что функция определена на всей числовой оси. Найдем точки, подозрительные на экстремум. Для этого вычислим производную:

Имеем две критические точки . Левее точки    , правее , значит в точке  функция имеет минимум. Ясно, что в точке  функция имеет максимум. График функции изображен на рис.7.

Рис. 7

Нетрудно вычислить  и . Действительно, , . Если учесть, что  и , то легко нарисовать график этой функции.

Второй достаточный признак экстремума.

 Исследование функций с помощью второй производной

Теорема . Если в окрестности точки x₀ функция f (x) непрерывна и дважды дифференцируема, причем в этой окрестности  непрерывна, а в точке x₀  первая производная обращается в нуль, то если , в точке x₀ функция имеет максимум, а если , в точке x₀ функция имеет минимум.

Доказательство. Докажем первую половину теоремы.

Пусть

Так как  по условию теоремы   непрерывна в некоторой d окрестности точки , то найдется некоторый малый отрезок, окружающий точку , во всех точках которого 

Но по определению второй производной  и   , откуда следует монотонное убывание на этом отрезке функции 

Так как по условию теоремы , то при   , а при  , т.е. производная  меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку  и  в этой точке согласно предыдущей теоремы функция достигает максимума.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Выпуклость и вогнутость кривых

Определение 1. Будем говорить, что непрерывная кривая на промежутке [a; b], выпукла вверх, или просто выпукла, если график располагается ниже касательной к  графику функции,  проведенной через любую  точку графика (рис. 8а).

Рис. 8.

Определение 2. Будем говорить, что непрерывная кривая на промежутке [a; b], выпукла вниз, или вогнута, если ее график располагается выше касательной к графику функции, проведенной  через любую точку графика (рис.8б).

Теорема. Если функция f (x) дважды дифференцируема на промежутке [a; b], причем  на этом промежутке, то на промежутке [a; b], график функции выпуклый, а если , то на промежутке [a; b], график функции вогнутый.

Доказательство. Пусть

Проведем в точке  касательную Т  к графику функции. По условию теоремы необходимо доказать, что все точки графика функции лежат выше касательной, т.е. ординаты любой точки кривой  больше ординаты   касательной при том же значении аргумента.

Уравнение касательной к кривой в точке  имеет вид:

,    откуда      ,  где - ординаты точек касательной.

Рис. 9.

Разность ординат точек кривой и касательной

Применим теорему Лагранжа к  функции  на отрезке :

, и тогда       ,  или ,   где .

Применим теперь теорему Лагранжа к функции  на :

, где .

В последнем равенстве  а   .

Следовательно,  , т.е. ординаты точек кривой больше ординат точек касательной при одной и той же абсциссе.

Значит, график функции   на   - вогнутый(см. рис.9).

Доказательство выпуклости графика функции на   проводится аналогично.                                                                                                                                                            

Точки перегиба

Точка на графике функции f (x), отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой, называется точкой перегиба. Из определения следует, что при прохождении через точку перегиба вторая производная меняет знак.         Если x₀ – абсцисса точки перегиба, то , или , или  не существует.

Пример. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции   y = x³ -6x² + x – 12.

y′ = 3x² - 12x + 1,          y′′ = 6x – 12.

y′′ = 0 при х = 2,           y′′ < 0 при х < 2,            y′′ > 0 при х > 2.

Таким образом, график функции является выпуклым при  х < 2,  вогнутым при   х > 2, а х = 2 – точка его перегиба.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Допустим, что некоторая функция f (x) непрерывна на промежутке [a; b], тогда на этом промежутке она имеет наибольшее и наименьшее значения. Чтобы их найти, нужно отыскать все максимумы и минимумы функции, вычислить ее значения на концах промежутка, а затем сравнить их между собой и выбрать наименьшее и наибольшее. На рис.10 функция f (x) имеет наибольшее значение в точке x = a, которое больше , а наименьшим значением является f (b), которое меньше минимального значения функции .

Рис. 10.

Пример.

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y = x³ + 3x² - 9x –15 на отрезке [-4, 4].

y ′ = 3x² + 6x – 9 = 0 при х = -3 и х =1 . При этом обе найденные критические точки принадлежат данному отрезку. Вычислим значения функции при х = -4, х = -3, х = 1 и х =4.

Таким образом, наибольшее значение функции на рассматриваемом отрезке равно 61 и принимается на его правой границе, а наименьшее равно –20 и достигается в точке минимума внутри отрезка.

Четность и нечетность функции

При исследовании функции всегда нелишне проверить, является ли данная функция четной или нечетной, так как в таком случае достаточно исследовать функцию только для , а затем отобразить ее для отрицательных x симметрично относительно оси 0y или симметрично относительно начала координат.

Определение 1. Функция f (x) называется четной, если  для любой точки x из области определения функции.

Например, функция  - четная функция; действительно, . Ясно, что график четной функции симметричен относительно оси 0y.

Определение 2. Функция f (x) называется нечетной, если .

Например, функция  нечетная функция, так как , т.е. .

Ясно, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Асимптоты кривых

Определение. Прямая линия называется асимптотой графика функции , если расстояние между текущей точкой графика и этой прямой стремится к нулю по мере удаления точки от начала координат (рис. 2.8.5).

Рис. 11.

Итак, предположим, что график функции имеет наклонную асимптоту  , тогда очевидно, что , т.е.

.

Вследствие того, что , при , то ясно, что последнее предельное равенство может иметь место, лишь когда выражение