Исследование трех одношаговых методов численного решения задачи Коши: явный, неявный методы Эйлера и метод средней точки

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Институт прикладной математики и механики

Лабораторная работа №1 по дисциплине

«Численные методы в теории колебаний»

Исследование одношаговых методов численного решения задачи Коши.

Руководитель: ________ Смирнова Н. А.

Выполнили: Студенты группы 33602/2 ______Ермакова Л.Д

Ковалева Е.В.

Санкт-Петербург

2014

I.Постановка задачи

В данной работе исследуется качество работы трех одношаговых методов численного решения задачи Коши: явный, неявный методы Эйлера и метод средней точки. Работу этих методов будем рассматривать в задачах о свободных и вынужденных колебаниях линейного осциллятора.  То есть будут проведены исследования методов интегрирования - семейства, где в качестве объекта исследований берется линейный осциллятор, поскольку его поведение уже хорошо известно, что дает возможность грамотно проанализировать полученные результаты. Так как существует принципиальная разница в моделировании консервативных, слабо и сильно демпфированных систем, то при исследовании необходимо изучить поведение численной модели для каждой из этих систем.

II.Математическая модель

Движение линейного осциллятора описывается дифференциальным уравнением вида

                                                                                              (1)

где  - обобщенная координата,  - инерционный коэффициент,  - коэффициент сопротивления,  - квазиупругий коэффициент,  - обобщенная сила. Поделив обе части уравнения на инерционный коэффициент и введя безразмерное время , получим:                                                                                                           (2)

где - варьируемый параметр (имеет физический смысл относительного затухания). Таким образом, теперь характер движения осциллятора определяется  одним параметром. В качестве начальных условий имеем: , .

Корни характеристического уравнения задачи (2): . В зависимости от значений  получаем три различные по своим свойствам системы:

1.   Система без демпфирования, консервативная система. Получаем чисто мнимые корни.

2.    Система с малым демпфированием. Получаем комплексные корни с отрицательной действительной частью (несущественная величина): . Общее решение однородного уравнения представляет собой затухающие колебания .

3.   Система с большим демпфированием. Получаем сильно различные отрицательные действительные корни: . Общее решение однородного уравнения представляет собой суперпозицию убывающих экспонент .

Вводя векторную переменную , получим нормальную форму задачи Коши:

                                                                                                                            (3) где , . Тогда начальные условия будут иметь вид: .

III.Описание методов

Имеется задача Коши:

                                                                                                          (4) Требуется решить её численными методами интегрирования.

Рассматривается однопараметрическое семейство методов Рунге-Кутты:

.  В зависимости от значений параметра  получаем:

1.   Явная схема метода Эйлера: . Имеет первый порядок точности.

2.   Неявная схема метода Эйлера: . Имеет первый порядок точности.

3.   Метод средней точки: . Имеет второй порядок точности.

Устойчивость методов.

Области устойчивости

а) неявного метода Эйлера; б) явного; в) метода средней точки

IV.Свободное движение

1.Система без демпфирования (,)

Консервативная система. Получаем чисто мнимые корни. Для данной системы за шаг интегрирования принимается значение .

Так как демпфирование сказывается, прежде всего, на скорости  потерь энергии, то целесообразно в случае консервативной системы  получить либо зависимость энергии от времени, либо амплитуды  колебаний от времени, что, в данном случае, одно и то же, так как  энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

  Явная схема метода Эйлера

Видим, что в данном методе амплитуда со временем будет расти, что не соответствует консервативной системе. Значит, метод не применим. В этом также можно убедиться, если заметить, что при чисто мнимом собственном значении  алгоритм неустойчив при любом шаге интегрирования.

  Неявная схема метода Эйлера