Множества и операции над ними. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества. Разбиение на классы. Отношение эквивалентности

между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Определение счетного множества можно теперь сформулировать следующим образом: множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Естественно возникает вопрос: а существуют ли вообще несчетные бесконечные множества?

Положительный ответ на него дается следующей теоремой.

Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Если эквивалентны между собой два конечных множества, то они состоят из одинакового числа элементов. Если эквивалентные между собой множества M и N произвольны, то говорят, что M и N имеют одинаковую мощность. Таким образом, мощность – это то общее, что есть у всех эквивалентных между собой множеств. Для конечных множеств понятие мощности совпадает с привычным понятием числа элементов множества. Мощность множества натуральных чисел (т.е. любого счетного множества) обозначается символом א0 (читается «алеф нуль»). Про множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел между 0 и 1, говорят, что они имеют мощность континуума. Эта мощность обозначается символом א.

Прямым произведением множеств A и B (обозначение ) называется множество всех пар (a, b), таких, что , . В частности, если A = B, то обе координаты принадлежат A. Такое произведение обозначается . Аналогично прямым произведением множеств  (обозначение ) называется множество всех векторов  длины n, таких, что , …, .  обозначается .

Проекцией вектора v на i-ю ось (обозначение ) называется его i-я компонента.

Разбиение на классы. Отношение эквивалентности.

В самых различных вопросах встречается разбиение тех или иных множеств на попарно не пересекающиеся подмножества. Например, плоскость (рассматриваемую как множество точек) можно разбить на прямые, параллельные оси x, трехмерное пространство можно представить, как совокупность концентрических сфер различных радиусов, жителей данного города можно разбить на группы по их году рождения и т.п.

Каждый раз, когда некоторое множество M представлено тем или иным способом как сумма своих попарно непересекающихся подмножеств, мы говорим о разбиении множества M на классы.

Обычно приходится иметь дело с разбиениями, построенными на базе того или иного признака, по которому элементы множества M объединяются в классы. Например, множество всех треугольников на плоскости можно разбить на классы равновеликих треугольников.

Признаки, по которым элементы того или иного множества разбиваются на классы, могут быть самыми разнообразными. Но все же такой признак не вполне произволен. Например, посмотрим, можно ли разбить точки плоскости на классы, зачисляя две точки в один класс в том и только в том случае, когда расстояние между ними меньше 1. Ясно, что такое разбиение осуществить нельзя, так как, если расстояние от a до b меньше 1 и расстояние b до c меньше 1, то это вовсе не означает, что расстояние от a до c меньше 1. Таким образом, зачисляя a в один класс с b, а b в один класс с c , мы получим, что в один и тот же класс могут попасть две точки, расстояние между которыми больше 1.

Пример подсказывает условия, при которых тот или иной признак действительно позволяет осуществить разбиение элементов некоторого множества