Логических функций двух переменных – 16; они приведены в таблице ниже.
|
|
0 0 0 1 1 0 1 1 |
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 |
Функции и
- константы 0 и 1, т.е. функции с двумя
несущественными переменными. Переменная
в
функции f называется несущественной (или фиктивной),
если изменение значения
в любом наборе
,…,
не меняет
значения функции. Функции
,
и
,
формально различны.
Однако принято функции, отличающиеся лишь несущественными переменными считать
равными.
Функция называется конъюнкцией,
ее обозначение
, ее
часто называют функцией И.
Функция называется дизъюнкцией,
ее обозначение
, ее
часто называют функцией ИЛИ.
Функция - это сложение по
модулю 2, ее обозначение
.
Функция называется эквивалентностью,
ее обозначение
.
Еще три функции имеют свои названия:
- импликация,
обозначение
, читается «если
, то
»,
- стрелка Пирса,
обозначение
,
- штрих Шеффера,
обозначение
.
Остальные функции специальных названий не имеют и можно показать, легко выражаются через перечисленные выше.
Пусть даны функции, …,
. Функция f, полученная из
с помощью подстановок их друг в друга и
переименования аргументов, называется их суперпозицией. Выражение,
описывающее суперпозицию и содержащее только символы переменных, скобки и знаки
функций, называется формулой над
.
Примером формулы может служить выражение
. Как
правило, знаки операций ставятся между аргументами (инфиксная запись), и
формулы приобретают привычный вид. Например, если
обозначает
дизъюнкцию,
- конъюнкцию,
-
сложение по модулю два, тогда выписанная выше формула примет вид:
()
(
(
)).
Формула каждому набору значений аргументов ставит в соответствие значение функции и, следовательно, может служить наряду с таблицей способом задания и вычисления функции.
В отличие от табличного задания представление данной
функции формулой не единственно. Например, если в качестве исходного множества
функций зафиксировать множество функций {,
,
}, т.е.
функции И, ИЛИ, НЕ, то функцию штрих Шеффера можно представить формулами
и
, а функция стрелка Пирса –
формулами:
и
.
Формулы, представляющие одну и ту же функцию называются эквивалентными или равносильными.
Булева алгебра.
Здесь будут рассмотрены представления логических функций в виде суперпозиций функций И, ИЛИ, НЕ.
Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
Введем
обозначение ,
. Пусть α
– параметр, равный 0 или 1. Тогда
, если x = α,
и
, если
.
Теорема.
Всякая логическая функция может быть представлена
в следующем виде:
,
(*)
где ,
а дизъюнкция берется по всем
наборам значений
переменных
.
Это равенство
называется разложением по переменным .
Теорема
доказывается подстановкой в обе части равенства (*) произвольного набора всех n переменных. Так как
, только когда x = α, то
среди
конъюнкций
правой
части равенства в 1 обратится только одна – та, в которой
. Все остальные конъюнкции равны 0. Поэтому
получим:
, т.е. тождество □.
Выполним разложение по всем n переменным. При этом все переменные в правой части равенства (*) получают фиксированные значения и функции в конъюнкциях правой части становятся равными 0 или 1, что дает:
, (**)
где дизъюнкция берется по
всем наборам , на которых f = 1. Такое разложение
называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) функции f.
Соотношение (**) приводит к важной теореме.
Теорема (о полноте). Всякая логическая функция может быть представлена булевой формулой, т.е. как суперпозиция конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
Алгебра , основным множеством которой является все
множество логических функций, а операциями дизъюнкция, конъюнкция и отрицание,
называется булевой алгеброй логических функций.
Операции булевой алгебры также часто называют булевыми операциями.
Рассмотрим основные свойства булевых операций.
Ассоциативность:
а) ; б)
.
Коммутативность:
а) ; б)
.
Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции:
.
Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции:
.
Идемпотентность:
а) ; б)
.
Двойное отрицание:
.
Свойства констант:
.
Правила де Моргана:
а) ; б)
.
Закон противоречия:
.
Закон «исключенного третьего»:
Знак & в формулах, там где это не вызывает сомнений, не ставился.
Если из формулы с помощью некоторых эквивалентных
преобразований можно получить формулу
, то и
можно получить из
,
используя те же эквивалентные соотношения; иначе говоря, всякое
эквивалентное преобразование обратимо. Это позволяет доказать следующую
теорему.
Теорема.
Для любых двух эквивалентных формул и
существует эквивалентное преобразование
в
с
помощью основных соотношений булевских операций.
Важность этой теоремы в том, что выписанных выше соотношений для булевых операций оказывается достаточно для любого эквивалентного преобразования в булевой алгебре.
Язык логики предикатов.
Значение логики предикатов, заключается не столько в ее собственных
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.