Предел функции. Непрерывная функция. Сравнение асимптотического поведения функций. Глобальные свойства непрерывных функций

Предел функции. Непрерывная функция

§ 10. Определения, примеры и свойства предела функции

Пусть ЕÌR , и пусть а – предельная точка множества Е. Пусть f: E®R, (или y=f(x)).

Определение 1. (по Коши). Число А называется пределом функции f(x) при x стремящемся к а, если "e>0 $d=d(e, a)>0 такое, что "xÎE, удовлетворяющих неравенству 0<|x – a|<d выполняется |f(x) – A|<e. Обозначение .

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой удалена сама точка. Если  окрестность точки а, то проколотую окрестность обозначают . Кроме того будем обозначать . Если а – предельная точка множества Е, то  – не пусто.

Определение 1¢. Число А называется пределом функции f(x) при x®a, если .

Пример. f(x) = x sin(1/x) при x®0.

Определение 2. (по Гейне). Число А называется пределом функции f(x) при x стремящемся к а, если для любой последовательности {x_n} точек x_nÎE\{a}, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к А.

Теорема 10.1. Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Доказательство: очевидно (самостоятельно).

Определение 3. Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке а, если "e>0 $d=d(e, a)>0 такое, что "xÎE, удовлетворяющих неравенству 0<x – a<d (0<а – x<d) выполняется |f(x) – A|<e. Обозначение .

Теорема 10.2. Функция f(x) имеет предел при x®a тогда и только тогда, когда в точке а существуют левый и правый пределы, равные между собой.

Доказательство: очевидно (самостоятельно).

Определение 4. Число , если "e>0 $d=d(e)>0 такое, что "xÎE, удовлетворяющих неравенству |x|>d  выполняется |f(x) – A|<e.

Замечание: Если , то .

Теорема 10.3. (Арифметические свойства предела). Пусть f: E®R и g: E®R. Если существует   и , то а).

б).

в).

г). f(x) ограничена в некоторой окрестности точки а.

Доказательство основывается на определении предела по Гейне и арифметических свойствах предела последовательности (самостоятельно).

Пример. Предел рациональной функции , .

Теорема 10.4. (Предельный переход в неравенствах) а). Пусть f: E®R и g: E®R. Если существует   и , причем А<B, то $ , что f(x)<g(x) "xÎ.

б). Если для f,g,h: E®R выполняется f(x)£g(x)£h(x) и , то существует  .

Доказательство: а). Пусть С таково, что А<C<B. Из определения предела следует, что для e=С-А $d₁>0, что для x, удовлетворяющих 0<|x – a|<d₁ выполняется |f(x) – A|<C-A, т.е. . Аналогично, для e=B-C>0 $d₂>0, что для x, удовлетворяющих 0<|x – a|<d₂ выполняется |g(x) – B|<B-C, т.е. B-(B-C)=C<g(x). Обозначим d=min(d₁,d₂), тогда для x, удовлетворяющих неравенству 0<|x – a|<d одновременно выполняется f(x)<C<g(x), таким образом, = {xÎÎЕ/0<|x – a|<d}.

б). Очевидно.

Следствие. Пусть  и , если в некоторой  выполняется

1.  f(x)>g(x), то А³В;

2.  f(x)³g(x) , то А³В.

§ 11 Вопросы существования предела функции

Пусть f: X®Y и g: Y®R. Определим сложную функцию h:X® R по правилу h=g°f, т.е. h(x)=g(f(x)).

Теорема 11.1. Пусть , причем f(x)¹y₀ при x¹x₀. Пусть, кроме того, существует , тогда существует .

Доказательство: Используем Определение 1¢ предела функции. Пусть  – произвольная окрестность точки А. По условию теоремы существует . Однако для данной окрестности , в силу существования предела функции f(x) найдется такая окрестность , . Тогда , т.е. А является пределом h(x) при x®x₀.

Замечание. Данную теорему называют также правилом замены переменной под знаком предела.

11.2. Критерий Коши

Теорема 11.2. Функция  имеет предел в точке  тогда и только тогда, когда , что , удовлетворяющих условиям ,  справедливо:  (условие Коши).

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть . Фиксируем . В силу определения 1 § 1 , что если  и , то  и , тогда .

2) Достаточность.

Пусть  удовлетворяет условию Коши в точке , покажем наличие предела. Пусть  – произвольная последовательность из  сходящаяся к . Согласно определению 3 предела по Гейне, достаточно доказать, что: а) соответствующая последовательность  сходится к некоторому числу ; б) это число одно и тоже для всех сходящихся к  последовательностей .

а) Фиксируем  согласно условию Коши  так как  – сходится к , то по этому , что   и  , но тогда по условию Коши  , . Это означает фундаментальность последовательности  и, следовательно, в силу критерия Коши Т.1 §2 гл.3 последовательность  сходится к некоторому числу .

б) Покажем, что  не зависит от выбора последовательности  сходящейся к  .

Пусть  также сходится к , но . Рассмотрим последовательность  – эта последовательность также сходится к . По ранее доказанному последовательность  обязана сходиться к некоторому пределу . Но тогда и любая ее подпоследовательность обязана сходиться к этому же пределу. Итак, подпоследовательность с нечетным номером сходится к , а с четными к . Следовательно, . Теорема доказана.

Определение 2. Функция  называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если , что  выполняется  ( ).

Определение 3. Функция   называется

-  возрастающей на , если ,

-  неубывающей ,

-  невозрастающей ,

-  убывающей на  .

Функции перечисленных типов называются монотонными.

§ 12. Два замечательных предела

п. 1. Первый замечательный предел

Теорема 12.1. .

 – ордината точки, в которую переходит точка (1,0) при повороте на угол  радиуса.

1) докажем, что  при . Так как  и  – четные формулы, то достаточно рассмотреть .

.

Итак,   .

.

2)  (причем равенство возможно только при .

Действительно, для  2) следует из 1), а для , также получаем .

3) , т.к.  и .

4) , т.к. , для .

п. 2. Теорема 12.2. .

Доказательство. Рассмотрим  – целая часть наибольшее целое число, не превосходящее . , очевидно , если  .

Вспомним, что .

 

т.е. .

Аналогично .

Замена  приводит к  .

§ 13. Сравнение асимптотического поведения функций

Когда возникает вопрос об описании поведения функции вблизи некоторой точки (или бесконечности), в которой, как правило, сама функция не определена, то говорят что интересуются асимптотикой или асимптотическим поведением функции в окрестности этой точки. Асимптотическое поведение функции характеризуют обычно с помощью более простой или более изученной функции, которая в окрестности исследуемой точки с достаточно малой погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции.

Так как  при  ведет себя как 1.  при  как , а при  как ,  как .

Определение 1. Функция  называется бесконечно малой в точке , если .

Заметим, что если , то  бесконечно малая и .

Определение 2. Говорят, что функция  есть бесконечно малая по сравнению с функцией  в точке  и пишут  при , если в некоторой окрестности