Електромагнетизм. Коливання і хвилі

         4 ЕЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ. КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Основні формули

          Закон Біо-Савара -Лапласа

,

де   dB - магнітна індукція поля, утвореного елементом провідника d з струмом I; r - радіус -вектор точки, в якій визначається магнітна індукція; a -  кут між елементом струму і радіус-вектором; m_о - магнітна стала; m - магнітна проникність.

          Зв’язок магнітної індукції  В  з напруженістю  Н магнітного поля

В =.  

          Магнітна індукція поля, утвореного відрізком провідника із струмом  (рис.  15)

. 

          Магнітна індукція поля прямого нескінченно довгого провідника із струмом

.

          Магнітна індукція в центрі кругового струму

.

          Магнітна індукція на осі кругового струму

,

де  h - віддаль від центра витка до точки, в якій визначається магнітна індукція.

          Магнітна індукція нескінченно довгого соленоїду

 ,

де n - число витків на одиницю довжини.

          Магнітний момент контура із струмом

P_m = I . S

          Механічний (обертаючий) момент, який діє на контур із струмом, розміщений в однорідному магнітному полі,

 M = P_mBsina, 

де a - кут між Р_m і В.

           Потенціальна енергія (механічна) контура із струмом в магнітному полі

Е_n = - Р_m Bcosa.

             Відношення магнітного моменту Р_m  до моменту імпульсу L зарядженої частинки, що рухається в магнітному полі по круговій орбіті,

,

де Q – заряд; m - маса частинки.

          Закон Ампера для однорідного магнітного поля

                                                  F = IBlsina,

          де  - довжина провідника; a - кут між напрямом струму і вектором магнітної індукції В.

          Сила взаємодії двох нескінченно довгих паралельних провідників із струмом     

.

Сила Лоренца                                          F = QVBsina,

де V - швидкість зарядженої частинки; a -  кут між  

          Магнітний потік

а) для однорідного магнітного поля і плоскої поверхні

Ф = В . S cosa   

б) для  неоднорідного поля і любої поверхні

Ф =,

          Потокозчеплення (повний потік)

Y = N  . Ф  

          Робота при переміщенні замкнутого контура із струмом в магнітному полі

А =ІDФ.

          Основний закон електромагнітної індукції (закон Фарадея)

e_і= - N .

Е.Р.С. самоіндукції

e_si = - L.

          Різниця потенціалів на кінцях провідника, що рухається в магнітному полі з швидкістю  V,

U = BlVsina.

          Заряд, який проходить по замкнутому контуру при зміні магнітного потоку через цей контур,

Q =

          Індуктивність соленоїда

L =m_omn²V,

де n - число витків на одиницю довжини; V -  об’єм соленоїда.

          Миттєве значення сили струму кола, яке має опір R  і індуктивність L

          а) при замиканні кола

 

          б) при розмиканні кола

          Енергія магнітного поля

  

          Об’ємна густина енергії магнітного поля

 

.

Кінетичне рівняння гармонійних коливань матеріальної точки

x = A сos(wt +j),

де А – амплітуда;   w - циклічна частота;   j - початкова фаза коливань;  х - зміщення.

Швидкість при гармонійних коливаннях дорівнює

 V = - Awsin(wt + j),

прискорення 

= а = - Аw²cos(wt +j).

Період коливання:

          а) фізичного маятника

Т = 2,

          б) пружинного маятника

Т = 2, 

          в) математичного маятника    

Т = 2.

          Енергія гармонійних коливань

Е .

Період електромагнітних коливань в контурі Томсона

. 

Кінетичне рівняння згасаючих електромагнітних коливань

Q = A_oe^-btcos(wt +j),

де b = - коефіцієнт згасання.

          Логарифмічний декремент згасання

l=bТ

Швидкість електромагнітних хвиль в середовищі

,

де e - діелектрична проникність, m - магнітна проникність середовища.

Приклади розв'язування задач

          Приклад 1. По відрізку прямого провідника, довжина якого   = 80 см, тече струм  І = 50 А.  Визначити магнітну індукцію  В поля, утвореного цим струмом в точці А, рівновіддаленій від кінців відрізка провода, яка знаходиться на відстані  r_о = 30 см від його середини.

Розв’язання

Для розв’язування задачі скористуємось законом  Біо-Савара-Лапласа і принципом суперпозиції магнітних полів. Закон Біо-Савара-Лапласа дозволяє визначити магнітну індукцію dB, створювану елементом струму Idl. Помітимо, що вектор   в точці  А спрямований за площину рисунка. Принцип суперпозиції дозволяє для визначення  скористуватися інтегруванням

               (1)

l

де символ  означає, що інтегрування поширюється на всю довжину провідника. Запишемо закон Біо-Савара-Лапласа в векторній формі

,

де d- магнітна індукція, утворена елементом провідника, довжина якого  dl із струмом I в точці, визначеній радіусом-вектором  ;

          m_о    -   магнітна стала

m  - магнітна проникність середовища, в якому знаходиться провід ( в нашому випадку m = 1). Помітимо, що вектори d від різних елементів струму співнаправлені (рис. 16), тому вираз (1) можна переписати в скалярній формі

,

де                                      dB =

В скалярному виразі закону Біо-Савара-Лапласа кут a є кут між елементом струму Id і радіусом-вектором . Таким чином,

           (2)

Перетворимо підінтегральний вираз так, щоб була одна перемінна - кут a. Для цього виразимо довжину елемента провода  dl через кут da (рис.16)

dl =

Тоді підінтегральний вираз запишемо в вигляді

 

Помітимо, що перемінна r також залежить від a (,

отже                                                   

Таким чином, вираз (2) можна переписати у вигляді

,

де  a₁ і a₂ границі інтегрування.

Виконаємо інтегрування           (3)

Помітимо, що при  симетричному розташуванні точки А відносно відрізка провода,  cosa₂ = -cos a₁. З урахуванням цього  формула (3) приймає вигляд

                                 (4)

З  рис. 16 виходить

сosa₁ =

Підставивши вираз cosa₁ в формулу (4), одержимо

         (5)

         Виконавши обчислення по формулі (5), знайдемо В = 26,7 мкТл. Напрям вектора магнітної індукції  В поля, утворюваного прямим струмом, можна визначити по правилу буравчика ( правилу правого гвинта). Вектор магнітної індукції  В  в точці А (рис. 16)  направлений перпендикулярно площині рисунка від нас.

          Приклад 2. Два паралельних нескінченно довгих провода  D і  С, по яких течуть в одному напрямку електричні струми, сила яких І = 60 А, розташовані на відстані d = 10 см один від одного. Визначити магнітну індукцію  В поля, утворюваного провідниками із струмом в точці  А (рис. 17), яка знаходиться від осі одного провідника на відстані   r₁ = 5 cм, від другого -r₂ = 12 cм.

                                                  Розв’язання

r1

          Для того, щоб знайти магнітну індукцію  В в точці  А,  скористуємость принципом суперпозиції магнітних полів.

I

I

Для цього визначимо напрямок магнітних індукцій  і  полів, утворюваних кожним провідником із струмом окремо і складемо їх  геометрично.  Модуль вектора  В може бути знайдений по теоремі косінусів: