Изучение свободных затухающих колебаний в электрическом контуре

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 78

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

Цель работы: Исследовать зависимость напряжения на конденсаторе контура от времени при различных значениях активного сопротивления, рассчитать характеристики колебательного контура.

1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Всякий реальный контур (состоящий из конденсатора  С  и катушки  L) обладает активным сопротивлением  R (рис. 1). Найдем уравнение колебаний в нем. Для этого условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор. Тогда

.                              (1)

Для цепи  1–R–L–2  запишем выражение закона Ома

JR = j₁ – j₂ + e₁₂, где  j₁ – j₂ = – – напряжение на конденсаторе,  e₁₂ = e_s  =  – ЭДС самоиндукции в катушке. Подставляя эти выражения в закон Ома с учетом (1) получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка для заряда на левой обкладке (по схеме на рис. 1) конденсатора

. (2)

Здесь   – коэффициент затухания;  – собственная частота колебаний в контуре (частота незатухающих колебаний в соответствующем идеальном контуре). Простой подстановкой можно убедиться, что общее решение уравнения (2) имеет вид (при условии, что  b < w₀)

,                                   (3)

где  q_m0  и  a – постоянные интегрирования которые определяются из начальных условий. С учетом полученного для напряжения на конденсаторе  U = j₂ – j₁ = q/C (с точностью до знака) имеем

.                                   (3a)

Сравнивая выражение (3а) с уравнением гармонических колебаний, величину  естественно назвать частотой, а медленно убывающую с течением времени величину

                                            (4)

соответственно амплитудой затухающих колебаний. График функции (3а) изображен на рис. 2. Пунктиром показана зависимость от времени амплитуды затухающих колебаний.

Затухающие колебания принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания  l, который определяется с помощью соотношения (5)

,                                          (5)

где   – период затухающих колебаний, А(t) – амплитуда колеблющейся величины (q, U  или  J), на рис. 2 — напряжения  U_m. Подставляя уравнение (4) в (5) получим

.                                           (6)

Выражение (5) при расчете величины  l  в случае слабозатухающих колебаний (b << w₀) может приводить к значительной погрешности. В этом случае разумнее воспользоваться выражением (5а), которое следует из уравнения (4)

,                                          (5а)

т. е. использовать отношение амплитуд, разделенных целым числом периодов  n (U₀ – амплитуда в начальный момент времени; U_n – амплитуда через интервал времени, равный  n  периодам). Из теории измерений следует, что формула (5а) дает минимальную погрешность в случае, когда для выдранных амплитуд приближенно выполняется условие  U₀/U_n » 3 (в примере на рис. 2  n = 4).

Колебательный контур часто характеризуют его добротностью  Q (практически используется только для слабозатухающих колебаний), которая определяется как отношение энергии, запасенной в контуре в данный момент времени, к средней потере энергии за время, в течение которого фаза колебаний изменяется на  1  радиан. Энергия, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды  , тогда для ее потери за один период получаем

.

С учетом того, что средняя потеря энергии за время изменения фазы на  1  радиан в  2p  раз меньше, имеем

, а для слабозатухающих колебаний (2bT = 2l << 1) окончательно исходя из определения добротности  Q  получим

,                               (7)

где величину    называют волновым сопротивлением контура.

В случае, когда  b ³ w₀  вместо колебаний происходит апериодическое затухание. Этот режим часто используется, чтобы предотвратить нежелательные колебания различных систем (например в случае механических колебаний используют амортизаторы, заполненные маслом). Для электрических колебаний активное сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называют критическим. Его значение можно найти из условия  b = w₀, откуда

.                                            (8)

При практическом исследовании затухающих колебаний в контуре следует учитывать то, что любая реальная катушка индуктивности  L  имеет собственное активное сопротивление (R₀), поэтому в выражениях для  b, l  и  Q  следует  R  заменить на сумму  R + R₀  , понимая под  R  теперь активное сопротивление внешнего резистора. В тех случаях, когда нельзя пренебречь величиной  R₀  по сравнению с  R, для анализа затухающих колебаний удобно пользоваться соотношениями, получающимися из определений величин  b, l  и  Q:

                               (9)

Практически во всех интересных случаях  l << 2p, поэтому последнее из соотношений (9) переходит в

.                                        (9а)

В данной работе затухающие колебания в контуре из  L, C  и  R  возбуждаются посредством подачи на катушку через конденсатор малой емкости (С₁) периодического напряжения прямоугольной формы со специального "калибрующего" выхода осциллографа. Сигналы, соответствующие крутым фронтам прямоугольников проходят через конденсатор, а в остальное время (в течение которого и наблюдаются затухающие колебания) его сопротивление для колебаний с частотой  w  достаточно велико (~ 10⁵ Ом) и можно считать, что в это время соответствующий участок цепи разорван.