Вычисление двойных интегралов в прямоугольных координатах. Переход в двойных интегралах от прямоугольных координат к полярным. Геометрические и механические приложения двойных интегралов

20. Вычисление двойных интегралов в прямоугольных коорд.

Пусть функция z=f(x,y) задана в области  D={(x,y): a£x£b,φ₁(x) £y£φ₂(x)} (1), где φ₁(x) и φ₂(x) – ф–ции, непрерывные на отрезке  [a,b]. Область вида (1) называется правильной в направлении оси Оу. y=φ₁(x) - совокупность точек входа, называется линией входа в D. y=φ₂(x) - линия выхода из D.

Опр1: Пусть при каждом xЄ[a,b] обычный определённый интеграл  (2) существует. Тогда  называется повторным интегралом от функции f(x,y) в области D и обозначается также  (3).

Теорема: Пусть ф–ция  f(x,y) интегрируема в области D и при каждом xЄ[a,b] существует определённый интеграл (2). Тогда существует и повторный интеграл (3) и он равен двойному интегралу функции  f(x,y) в области D.

 (4)

Пусть z=f(x,y), D={(x,y): c£y£d,ψ₁(y)£x£ψ₂(y)} (5), где x=ψ₁(y)  (правая линия входа в D)и ψ₂(y) (левая линия выхода из D) функции непрерывные на отрезке  [c,d].

Область вида (5) называется правильной в направлении оси Ох.

Опр: Пусть при каждом yЄ[c,d] существует обычный определённый интеграл  (6). Тогда интеграл  называется повторным интегралом от функции f(x,y) в области D и обозначается  (7).

Теорема: Пусть ф–ция f(x,y) интегрируема в D и при каждом y Є[c,d] существует интеграл (6). Тогда существует повторный интеграл (7) и он равен двойному интегралу.

 (8).

Замечание: Область правильная в направлении Ох и Оу называется правильной областью. Двойной интеграл можно вычислить и по формуле (4) и по формуле (8).

Замечание: Если область не является правильной нив направлении Оу, ни в направлении Ох мы разбиваем ее на части, каждая из которых является правильной в каком-либо направлении. Вычисляем двойной интеграл по отдельным частям и суммируем.

21. Переход в двойных интегралах от прямоугольных координат к полярным.

Пусть D - область плоскости Оху и на ней задана ещё полярная система координат, полюс которой помещён в точку О, а полярная ось совмещена с положительной осью Ох.

Если M(x,y)ºM(ρ,θ), то .

Пусть в D задана ф–ция  f(x,y)=f(ρ.cosθ,ρ.sinθ)=F(ρ,θ). Пусть

D={(ρ,θ): α£θ£β,φ₁(θ)£ρ£φ₂(θ)} (1), где  ρ=φ₁(θ) и  ρ=φ₂(θ) функции непрерывные на отрезке [α,β]. Область вида (1) называется правильной относительно радиуса-вектора.

 - повторный интеграл. ρ - коэффициент искажения площадей при переходе к полярным координатам (якобиан).

Пусть D={(ρ,θ): r£ρ£R,ψ₁(ρ)£θ£ψ₂(ρ)} (2), где  ψ₁(ρ) и ψ₂(ρ)- функции непрерывные на отрезке [r,R].

Область (2) называется правильной относительно полярного угла. Интеграл  называется повторным интегралом и

22. Геометрические и механические приложения двойных интегралов.

1. Пусть в D задана z=f(x,y), с непрерывными частными производными первого порядка и график функции z в области D. S - площадь поверхности π.

Тогда .

2. Пусть D - бесконечно тонкая материальная пластинка (некоторая область плоскости (х,у)) с непрерывной плотностью γ(x,y). Тогда

1. Масса всей пластины:

2. Статические моменты.

1.  моменты инерции материальной пластины  относительно  координатных осей.

2. момент инерции материальной пластины относительно начала координат.

23. Понятия кубируемой пространственной области и ее объема. Интегральные суммы для функции трех переменных. Определение тройного интеграла.

Ограниченная пространственная фигура Т называется кубируемой, если точная верхняя грань V объёмов многогранников, вписанных в Т совпадает с точной нижней гранью объёмов многогранников описанных вокруг Т. При этом  V называется объёмом фигуры Т. Диаметром ограниченной пространственной фигуры Т называется величина, точная верхняя грань |M₁,M₂|, M₁,M₂ЄT..

Пусть Т квадрируемая область в пространстве Oxyz. u=f(x,y,z)=f(M) произвольная ограниченная функция, заданная в Т. Разобьем Т на частичные области T₁,T₂,…,T_n  не имеющие общих внутренних точек. Пусть d_k - диаметр, а ΔV_k - объем части T_k. τ - произвольное разбиение области Т.

 - ранг разбиения τ. На каждой части T_k возьмём произвольно точку  M_k(x_k,y_k,z_k) и составим сумму.

 (1)

Сумма (1) называется интегральной суммой функции u, а  M_k - произвольные точки разбиения Т.