Исследование системы на совместимость и решение методом Крамера. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

1. Исследовать систему на совместимость и решить методом Крамера.

Решение:

Т-ма Крамера: крамеровская система имеет единственное решение.

Крамеровская система – это система, удовлетворяющая следующим 2-м условиям:

1) число уравнений системы = числу неизвестных

2) определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от 0

Составим определитель:

 

Система совместима, т.е. имеет хотя бы одно решение.

Ответ: (-4; 1; -2)

2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

                                  .

Решение:Выпишем расширенную матрицу системы

Приведем эту матрицу к ступенчатому  виду. Для этого мы можем делать элементарные преобразования строк.

Т-ма Кронекери-Копелли: СЛУ совместима , когда ранг матрицы = рангу расширенной матрицы системы.

Ранг матрицы – число ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы

С – расширенная матрица системы, А – матрица системы

r(C)=2

r(A)=2  r(C)=r(A) и по теореме Кронекери-Копелли система совместима. От ступенчатой матрицы переходим к ступенчатой системе:

Т. к. число уравнений системы < числа неизвестных, то в этом случае система имеет бесконечно много решений. Чтобы найти решение, надо разбить неизвестные на главные и свободные.

главные неизвестные, свободная неизвестная (может быть любым числом),

      

3. Разложить пространство R⁴ на прямую сумму подпространств размерности 2.

Решение:

R⁴ – множество строк длины 4 (4-х мерное арифметическое пространство)

R⁴={(

Если А и В – подпространства пространства V, то через А+В обозначают множество {a+b|aЄA, bЄB}

В случае, если А∩В={Ø} – нулевое подпространство, то такая сумма V=A+B называется прямой и в этом случае пишут V=A. В нашем случае Ø=(0,0,0,0)

Пусть теперь А={( B={(0,0,

Проверим, что пространство задаётся в виде А+В

Пусть 

а=( в==(0,0,, значит R⁴ =A.

Ответ: R⁴ =A, где А={( B={(0,0,

4. Докажите, что в пространстве M(2, R) система векторов  линейно независима.

Решение:

Система векторов а₁,а₂,а₃,а₄ линейно независима, если в любой системе вида

Ø

В нашем случае, пусть

Значит, система векторов Е₁, Е₂, Е₃, Е₄ линейно независима.

5. Найдите  жорданову  нормальную  форму матриц:  .

Решение:

Жорданова нормальная форма матрицы состоит из клеток Жордана вдоль главной диагонали, а все остальные элементы такой матрицы нулевые.

Клетка Жордана – это матрица вида:

Если размер клетки n*n, то она обозначается символом Y_n(a).

Пример: Y₁(a)=а, Y₂(a)=, Y₃(a)=

В искомой матрице записывают характеристический многочлен матрицы А и находят его корни.

Характеристический многочлен имеет единственный корень кратности 3.

Надо выяснить, какой из 3-х случае нам подходит:

Y₁=, Y₂=, Y₃=(1)

Число всех клеток Жордана вычисляют по формуле:

A-E =~

Значит, . Искомая матрица имеет вид: Y=

Ответ: Y=

6. Исследовать, являются ли векторы

векторного  пространства  линейно зависимыми.

Решение:

Пусть

Это приводит к системе:

Т. к. определитель системы ≠ 0, то система имеет единственное нулевое решение. Значит, система векторов f(x), g(x), h(x) являются линейно независимыми.

Ответ: линейно независимы.

7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства R², заданного в некотором базисе матрицей

.

Решение:

Характеристический многочлен имеет единственный корень  кратности 2.

Значит,  - собственное значение линейного оператора.

Найдем собственный вектор, отвечающий найденному собственному значению:

Пусть х = (х₁, х₂)  х(А-

θ

Пусть х₂=t →x₁=-t, где t – любое число

Ответ: собственное значение λ = -1, собственный вектор (-t, t), t – любое число.

8. Найти все значения , при которых вектор           линейно выражается через векторы

Решение:

Мы должны найти все λ, для которых уравнение  (1)

имеет решение

что приводит к системе:

Уравнение (1) имеет решение ↔, когда данная система имеет решение. А согласно теореме  Кронекери-Копелли данная система совместима ↔ ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы.

~~~