Понятие производной по направлению от функции 2х и 3х переменных, ее механический смысл и связь с частными производными. Понятие градиента функций двух и трех переменных

Страницы работы

Содержание работы

16.Понятие производной по направлению от функции 2х и 3х переменных, ее механический смысл и связь с частными производными.

Рассмотрим случай функции двух переменных.

Пусть в области D, плоскости Оху задана ф–ция z=f(M)=f(x,y). Пусть задан ненулевой вектор , с направляющими косинусами .Исходя из точки М(х,у) области D перейдём в точку M₁(x+Δx,y+Δy) этой области, двигаясь в направлении вектора .

Пусть (1)

Пусть Δz - полное приращение функции z в точке М. Δz=f(M₁)–f(M).

Опр: Предел , если он существует и конечен , называется производной от функции z=f(M)=f(x,y) по направлению и обозначается

Ясно, что частные производные являются частным случаем производной по направлению.

Теорема: Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке М(х,у), тогда производная от функции z в точке М по направлению существует, каков бы не был вектор , причём

(2), где - направляющие косинусы вектора .

Доказательство: т.к. функция z дифференцируема в точке М, то Δz=Δf(M) может быть представлен в виде

(3), где ε₁→0, ε₂→0 при Δx→0, Δy→0, а значит и при Δl→0.

Поделим (3) почленно на Δl и воспользуемся равенством (1). Получим:

Переходя к пределу при Δl→0 получим равенство (2):

17. Понятие градиента ф–ций двух и трех переменных. Св–ва.

Опр: Вектор называется градиентом функции z=f(M) и обозначается символом grad f(M), или grad f(x,y), или grad z.

(4)

Используя понятие градиента функции f(M) преобразуем (2).

Пусть - единичный вектор в направлении . в силу (2) и (4) будет

Т.о. (2) можно записать в виде

(5).

Равенство (5) показывает, что grad f(M) задает направление наибыстрейшего возрастания функции f(M) в точке М.

Все сказанное переносится на случай более чем двух переменных.

Теорема 2: Пусть M0(x₀,y₀) - обыкновенная точка некоторой линии уровня поверхности z=f(x,y). Тогда вектор grad f(M) направлен по нормали к линии уровня поверхности z=f(x,y), проходящей через точку M₀.

Следствие: Если вектор направлен по касательной к линии уровня поверхности z=f(x,y), проходящей через точку M₀, то .

Д–во: Пусть C=f(x₀,y₀), тогда линия уровня, проходящая через M₀, задаётся уравнением f(x,y)=C; F(x,y)–C=0. Уравнение касательной к этой линии в точке M₀ имеет вид

А это значит, что вектор , т. е. grad f(M₀) направлен по нормали к касательной, а следовательно по нормали и к линии уровня.

Замечание: grad f(M₀) всегда направлен в сторону выпуклости линии уровня точки M₀.

18. Понятие квадрируемой плоскости области и ее площади. Интегральные суммы для функции двух переменных по квадрируемой области, их геометрический смысл. Определение двойного интеграла.

Опр: Пусть Q ограниченная плоская фигура. Если значение S точной верхней грани множества площадей всех многоугольников, вписанных в Q совпадает со значением точной нижней грани множества площадей многоугольников описанных вокруг Q, то фигура Q называется квадрируемой, а число S называется площадью этой фигуры.

Опр: Диаметром ограниченной плоской фигуры Q называется величина .

Пусть на плоскости Оху задана область D (замкнутая или открытая безразлично) квадрируемая. Пусть в D определена ограниченная ф–ция z=f(x,y)=f(M). Разобьем область D на n квадрируемых частей D₁,D₂,…,D_n никакие две из которых не имеют общих точек.

Пусть d_k - диаметр части D_k, а ΔS_k - площадь этой части (k=1,2,…,n). Пусть , λ - ранг произвольного разбиения области D на частичные области.

На каждой части D_k возьмем произвольную точку M_k(x_k,y_k), k=1,2,…,n и составим сумму

(1)

Суммы вида (1) называются интегральными суммами, а точки M_k - промежуточными точками.

Опр: Число I называют конечным пределом интегральных сумм (1) при λ→0, и пишут , если для любого ε>0 найдётся δ>0 такое, что для любого разбиения области D на частичные области D_k, не имеющие общих внутренних точек, с условием λ<δ и любого способа выбора промежуточных точек M_k в частичных областях D_k выполняется равенство |σ–I|<ε.

Опр: Если существует конечный предел интегральных сумм при λ→0, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается символами

или , где dS=dxdy называется элементом площади области D или элементарной площадью в области D.

Если двойной интеграл существует, то функция f(x,y) называется интегрируемой в области D.

Выясним геометрический смысл двойного интеграла в случае, если f(x,y) непрерывна и положительна в области D.

Очевидно слагаемое f(x_k,y_k)ΔS_k интегральной суммы (1) дает объем цилиндра с основанием D_k и высотой f(x_k,y_k). Вся интегральная сумма (1) даст приближенно объем цилиндра Т. Причем погрешность приближается к 0 при λ→0. Следовательно двойной интеграл дает объем цилиндра Т.

19.Основные свойства двойного интеграла.

1.2.

3. Если f(x,y) непрерывна в замкнутой области D, то она в этой области интегрируема.

4. Если f(x,y) интегрируема в D₁ и D₂, не имеющих общих внутренних точек и D₁ÈD₂ - область, то функция f(x,y) интегрируема в области D₁ÈD₂, причём 5. Свойство линейности: Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области D, то в D интегрируема и функция α^.f(x,y)+β^.g(x,y), причем