Расчет статически неопределимой стержневой системы. Вариант № 1

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова

(технический университет)

Кафедра механики

РГР №1

Расчет статически неопределимых стержневых систем

Вариант 1

Выполнила:      студента группы ТО-07

                           Артов П.А.

Проверил:        

Санкт-Петербург

2009г

Формулировка задания

Рассчитать площадь поперечного сечения стержней указанной конструкции:

Рассчитываемая система представляет собой стержневую конструкцию с одной шарнирной опорой и двумя деформируемыми тягами. Заданы материалы стержней 1 – медь, 2 – сталь, модули упругости их при растяжении – сжатии: Е₁= МПа; Е₂=МПа. Внешняя сила Р₁, действующая на конструкцию, равна – 20кН, а внешняя сила Р₂, действующая на конструкцию, равна – 10кН, q = 20кН/м. Стержень один изготовлен на 0,001м  длиннее. Стержень два нагревается на 20 градусов Цельсия. Конструкционные соотношения площадей стержней F₂/F₁ =1. Геометрические размеры системы: а=2м; b=5м; с=4м; d=2м; h=2м; ; . Предполагается что балка абсолютно жесткая и невесомая.

Расчет усилий от внешних сил Р₁, Р₂ и Q

 Для расчетов усилий используем метод сечений. Сечения проведем через оба стержня. Составим уравнение статики:

, (1)

где Q=qc.

Остальные уравнения статики можно не составлять, так как они необходимы только при определении реакций в шарнире Х_А, Y_А, чего не требуется по условию задачи.

Таким образом степень статической неопределенности К=1, так как система имеет два неизвестных усилия R₁, R₂ и одно уравнение статики.

Для составления условий совместности деформаций необходимо рассмотреть схему перемещений элементов системы:

Под действием внешних сил Р₁, Р₂ и Q первый стержень укоротиться на величину , а второй стержень удлиниться на величину, при этом жесткая балка AD, повернется в положение АD₁. Ввиду малости деформации точек В и С в ходе деформации перемещаются вертикально и займут положение В₁ и С₁. Положение этих точек определяется пересечением линии АD₁ и перпендикуляров, проведенных к первоначальному направлению осевой линии балки AD в точки В и С. Удлинение  и   находим также графически, для чего из точек С и В опустим перпендикуляры на линии соответствующих новым положениям стержней 1 и 2 после приложения нагрузки Р₁, Р₂ и Q. Отрезки В₁В₂ и С₁С₂ определяют удлинение стержней соответственно  и  .

Условие совместной деформации в данном случае проще всего составит, воспользовавшись подобием треугольников АВ₁В и АС₁С:

;                                                                                                                    (2)