Основные характеристики случайных процессов

Объясню, как смогу: не буду говорить ничего окончательного и определенного, подобно оракулу Аполлона, а, будучи всего лишь слабым смертным, укажу только правдоподобные предположения.

Цицерон

  глава 4

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

4.1.         Изучаемые вопросы

Случайные колебания как сигнал и как помеха. Одномерный и многомерный законы распределения вероятностей. Характеристические и моментные функции. Стационарные и эргодические процессы; определение характеристик и параметров процесса усреднением по времени [3, гл.17; 2, 6.3; 1, 4.1, 4.2].

Корреляционное представление случайных процессов. Корреляционные функции и их свойства. Спектральное представление. Спектральная плотность мощности. Теорема Винера-Хинчина [3, 17.9 и 18; 1, 4.3…4.5; 2, 7.1, 7.2].

Узкополосные случайные процессы. Статистические характеристики огибающей и фазы [1, 4.6; 2, 7.3].

Указания. Следует обратить внимание на радиотехническую интерпретацию таких понятий, как математическое ожидание, средний квадрат, дисперсия, корреляционная функция и другие, на свойства спектрально-корреляционных характеристик случайного процесса. Основные характеристики полезно рассматривать на примерах наиболее часто встречающихся в природе и технике связи нормальных (гауссовых) процессов. При анализе радиоцепей весьма продуктивны модели процессов в виде белого шума и узкополосного сигнала.

Наиболее полно вопросы темы изложены в работах [10, 11]. Руководства и учебные пособия [8, 9, 5, 6] содержат большое число примеров задач с решениями, указаниями и комментариями.

4.2. Краткие теоретические сведения

Случайный процесс  может быть охарактеризован во временной области совокупностью (ансамблем) реализаций , т. е.

                                 (4.1)

Если зафиксировать произвольный момент времени , т. е. получить сечение процесса – случайную величину , то эту величину (как следует из курса теории вероятностей) можно статистически полностью охарактеризовать функцией распределения  или плотностью вероятности . Обе функции выражают одномерный закон распределения случайной величины . Если момент  выбрать произвольно, то одномерный закон распределения является функцией двух аргументов:  и .

Характеристическая функция

                    (4.2)

– преобразование Фурье от плотности вероятности, в равной степени описывает сечение процесса.

Наиболее полно процесс  может быть представлен многомерной (n-мерной) плотностью вероятности или многомерной характеристической функцией

.                          (4.3)

Получение и исследование многомерных плотностей и характеристических функций представляет серьёзные трудности.

Во многих случаях оказывается возможным ограничиться более простыми характеристиками случайных процессов – их моментными функциями: начальными и центральными.

Начальные, или просто моментные функции -го порядка

.                     (4.4)

Центральные моментные функции -го порядка

,              (4.5)

где , .

Наиболее важными для практического использования являются моментные функции первых двух порядков: математическое ожидание , среднее значение квадрата  и дисперсия , при этом

.                            (4.6)

Количественной характеристикой скорости изменения случайных процессов служат корреляционные моментные функции, устанавливающие статистическую взаимосвязь значений процессов в различных сечениях (в моменты  и ):

,        (4.7)

,               (4.8)

называемые соответственно (авто) ковариационной и (авто) корреляционной функциями.

В практических приложениях часто рассматриваются так называемые стационарные процессы. Если -мерный закон распределения не изменяется при любом сдвиге  всей группы сечений вдоль оси времени, т. е. если он инвариантен относительно времени

,            (4.9)

то случайный процесс называется стационарным в строгом или узком смысле. Следовательно, двумерный и одномерный законы инвариантны относительно времени. Моментные функции превращаются в моменты – числовые характеристики закона распределения, т. е. , ,  и т. д.

Для определения моментов можно использовать также характеристическую функцию :

        (4.10)

где  – так называемая кумулянтная функция.

Имеется ещё числовая характеристика законов распределения – так называемая энтропия, выражающая их неопределённость:

.                               (4.11)

В рамках корреляционной теории (для моментов не выше второго порядка) стационарность процесса определяется в широком смысле. Ограничиваются требованием, чтобы математическое ожидание и дисперсия не зависели от времени, а корреляционная функция определялась бы только интервалом , т. е. .

Для нормальных (гауссовых) процессов понятия стационарности в широком и узком смысле совпадают. Такие процессы исчерпывающим образом описываются указанием математического ожидания и АКФ.

Среди стационарных выделяют так называемые эргодические процессы. Стационарный в узком смысле процесс называется эргодическим, если любая вероятностная характеристика такого процесса, полученная путём усреднения по ансамблю реализаций, равна временному среднему, полученному усреднением за достаточно большой промежуток времени наблюдения  из одной реализации. Для случайного процесса, стационарного в широком смысле, условие эргодичности формулируется относительно математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции. Следовательно,

,              (4.12)