Методические указания по выполнению курсовой работы по курсам "Метрология, стандартизация и технические измерения", "Метрология, стандартизация и сертификация", страница 3

где f (U_ci) – априорная плотность вероятности параметра U_ci.

Совместная плотность вероятности (5) позволяет определить ошибки первого и второго рода, характеризующие достоверность измерительного контроля многопараметрического объекта.

Средние вероятности ошибок первого и второго рода [4, 6] при контроле  i-того параметра определяются с учётом (5) выражениями:

 =  +              (6)              

                                                                            = +. (7)

Здесь:  [ ]  – допуск на  i- тый параметр.

Используя правило сложения для совместимых и взаимно независимых событий [9], получим с учётом (6) и (7) следующие выражения для вероятностей ошибок первого и второго рода для k из n контролируемых параметров:

α (k) = 1 - ,                                                   (8)

β (k) = 1 - ,                                                   (9)

При этом вероятность  брака для (n-k) неконтролируемых параметров равна:

(n - k) =   1-                                                       (10)

Здесь:

=  +  d.                                               (11)

Заметим, что, риск заказчика включает вероятность β_i , вычисленную по формуле (9) и вероятность брака (10) по n – k неконтролируемым параметрам.

Из изложенного следует, что для оценки достоверности многопараметрического измерительного контроля при использовании обобщённой модели измерений (1), (2) необходимо определить плотность вероятности f(Y_i) суммарной погрешности (3). Это позволяет получить условную плотность вероятности (4) и при заданной априорной плотности вероятности измеряемого параметра  f (U_ci) определить совместную плотность вероятности  (5), которая используется для расчёта средних ошибок первого и второго рода по формулам (6), (7), (8) и (9).

Рассмотрим примеры аппроксимации распределений вероятностей суммарной аддитивной погрешности (3), полезные для практических расчётов.

Пример 1. Для фиксированных случайных значений параметра  U_ci  и систематической погрешности  ∆_si  плотность вероятности суммы (3) в соответствии с правилом свёртки распределений независимых случайных величин [9] определяется выражением:

f (Y_i) = du.                                 (12)

Для гауссовых распределений  f (ξ_i)  и f (y_i) с нулевыми средними и дисперсиями    плотность вероятности f () (12) будет так же гауссовой с математическим ожиданием µ = U_ci +  и дисперсией:

.                                                                             (13)

Тогда условная плотность вероятности (4) примет вид:

p(Z_i/U_ci) =  exp .                                                    (14)

Пример 2. Рассмотрим случай, когда распределения независимых погрешностей в (3) f(ξ_i) и  f(y_i)  нормальные, а плотность вероятности неисключённой систематической погрешности ∆_si – равномерная в интервале [c, d]. Тогда с учётом (12) и (13) получим:

f (Y_i) =  ,                                             (15)

где F(z) – функция Лапласа [9].

Из выражений (4) и (15) получим условную плотность вероятности:

p(.                           (16)

      Полученные в приведённых выше примерах 1, 2  выражения (14) и (16) для условных распределений позволяют рассчитать ошибки первого и второго рода (6) и (7) и определить достоверность многопараметрического измерительного контроля (8) и (9) с учётом широко применяемых законов распределения составляющих суммарной погрешности (3).

Пример 3.Представляет интерес сравнение результатов расчёта ошибок первого и второго рода с использованием рассмотренного выше математического метода  с результатами имитационного моделирования, приведёнными в [8] для простейшего случая, когда все параметры одинаковы, а распределение аддитивной погрешности (3) равномерное в интервале .

При нормальном распределении  параметров U_ci в соответствии с (6) и (7) вероятности ошибок первого и второго рода при симметричном поле допуска для сигнала [a_i , b_i ]  определяются выражениями:

pnormpnorm,                                   (17)                                 

=   pnorm ,                                  (18)