Четырехмерный мир (пространство Минковского).
Интервал. Расстояния и временные промежутки в классической механике являются инвариантными величинами – одинаковыми во всех ИСО. В теории относительности они уже не обладают этим свойством, зато в ней появляется ряд новых инвариантных величин, прежде всего скорость света c. К инвариантам относятся также собственное время, масса покоя, электрический заряд и др. Весьма важной инвариантной величиной является интервал Ds между двумя событиями, квадрат которого определяется как
, где Dt – промежуток времени между событиями, Dr – расстояние между точками, в которых происходят данные события ().
В инвариантности интервала можно легко убедиться, вычислив его непосредственно в K¢- и K-системах отсчета. Воспользовавшись преобразованиями Лоренца (Л16-6) запишем
.
Учитывая, что и , заключаем, что интервал является инвариантной величиной. Инвариантность интервала играет фундаментальную роль в теории относительности и служит весьма эффективным инструментом при анализе и решении многих вопросов.
Типы интервалов. В зависимости от того, какая составляющая в интервале преобладает, пространственная или временная, соответствующие интервалы называют: пространственноподобными (), времениподобными (). Кроме этих двух типов интервалов существует еще третий – светоподобный ().
Если интервал между двумя событиями пространственноподобный, то всегда можно найти такую K¢-систему отсчета, в которой оба события происходят одновременно ().
Если же интервал времениподобный, то всегда можно найти такую K¢-систему отсчета, в которой оба события происходят в одной точке ().
В случае пространственноподобных интервалов , т.е. ни в одной системе отсчета события не могут оказать влияния друг на друга, даже если бы связь между событиями осуществлялась с предельной скоростью c. Иначе обстоит дело в случае времениподобных или светоподобных интервалов, для которых . Следовательно, события, разделенные времениподобными или светоподобными интервалами, могут быть причинно-связанными друг с другом.
Пространство Минковского. В связи с инвариантностью интервала целесообразно не разделять пространство и время, а рассматривать их вместе как четырехмерное пространство-время. Совокупность четырех величин будем рассматривать как четырехвектор события (мировой точки) R в пространстве, называемом пространством Минковского, а величину
как квадрат его длины. Квадрат длины R, как следует из сопоставления его с интервалом, является четырехскаляром (инвариантом). Четырехскаляром (инвариантом) в общем случае называется величина, не зависящая от выбора ИСО . В свою очередь четырехвектором называется совокупность четырех величин , которая при переходе из одной ИСО в другую преобразуется так же, как и компоненты четырехвектора события, т.е. для компонент четырехвектора A справедливы прямые (и обратные) преобразования Лоренца
, , , , (1а) , , , , (1б) где , .
Нетрудно установить, что квадрат длины четырехвектора является четырехскаляром. Как и интервалы 4-векторы делятся на пространственноподобные () и времениподобные ().
Удобство четырехвекторов состоит в том, что их можно складывать и умножать на числа по правилам, аналогичным правилам действий над векторами в трехмерном пространстве. Точно так же запись означает равенство соответствующих компонент четырехвекторов, причем равенство сохраняется в любой другой ИСО, хотя каждая из компонент при переходе в эту ИСО может измениться.
Аппарат четырехвекторов позволяет наиболее просто и единообразно находить законы преобразования кинематических и динамических величин. Особую роль четырехвектора и четырехскаляры приобретают при формулировке фундаментальных законов природы. Согласно принципу относительности объективные законы физики должны сохранять свою форму во всех ИСО. Это условие автоматически выполняется, если они записываются в четырехвекторной или четырехскалярной форме.
Построение четырехвекторов начнем с 4-скорости и 4-ускорения. Движение материальной точки в пространстве Минковского можно описать в виде функциональной зависимости четырех ее координат (времени и трех пространственных координат) от собственного времени тела
. Естественно тогда определить компоненты 4-скорости как
. Действительно, указанные величины преобразуются как компоненты 4-вектора, поскольку числитель является дифференциалом четырехвектора, а знаменатель – дифференциалом четырехскаляра. Связь дифференциалов собственного времени и времени в ИСО, относительно которой рассматривается движение, имеет вид
, где , а (v – скорость тела). Используя эту связь, раскрываем смысл компонент 4-скорости
, где – компоненты обычной трехмерной скорости v, или в компактном виде
. Квадрат длины 4-скорости является инвариантом равным
.
4-скорость преобразуется при переходе из одной ИСО к другой согласно формулам (1а). Запишем 4-скорость в K- и K¢-системах соответственно как
, . На основании преобразований Лоренца (1а)
, , , . (2) Из последнего равенства (2) следует, что
. После несложных преобразований остальных выражений (2) получим
, , . (3) Эти формулы выражают релятивистский закон преобразования скоростей. При малых скоростях ( и ) они переходят, как нетрудно убедиться, в формулы преобразования скоростей классической механики
, , , или в векторном виде
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.