Четырехмерный мир (пространство Минковского). Релятивистская динамика

Четырехмерный мир (пространство Минковского).

Интервал. Расстояния и временные промежутки в классической механике являются инвариантными величинами – одинаковыми во всех ИСО. В теории относительности они уже не обладают этим свойством, зато в ней появляется ряд новых инвариантных величин, прежде всего скорость света c. К инвариантам относятся также собственное время, масса покоя, электрический заряд и др. Весьма важной инвариантной величиной является интервал Ds между двумя событиями, квадрат которого определяется как

, где Dt – промежуток времени между событиями, Dr – расстояние между точками, в которых происходят данные события ().

В инвариантности интервала можно легко убедиться, вычислив его непосредственно в K¢- и K-системах отсчета. Воспользовавшись преобразованиями Лоренца (Л16-6) запишем

 .

Учитывая, что  и , заключаем, что интервал является инвариантной величиной. Инвариантность интервала играет фундаментальную роль в теории относительности и служит весьма эффективным инструментом при анализе и решении многих вопросов.

Типы интервалов. В зависимости от того, какая составляющая в интервале преобладает, пространственная или временная, соответствующие интервалы называют: пространственноподобными (), времениподобными (). Кроме этих двух типов интервалов существует еще третий – светоподобный ().

Если интервал между двумя событиями пространственноподобный, то всегда можно найти такую K¢-систему отсчета, в которой оба события происходят одновременно ().

Если же интервал времениподобный, то всегда можно найти такую K¢-систему отсчета, в которой оба события происходят в одной точке ().

В случае пространственноподобных интервалов , т.е. ни в одной системе отсчета события не могут оказать влияния друг на друга, даже если бы связь между событиями осуществлялась с предельной скоростью c. Иначе обстоит дело в случае времениподобных или светоподобных интервалов, для которых . Следовательно, события, разделенные времениподобными или светоподобными интервалами, могут быть причинно-связанными друг с другом.

Пространство Минковского. В связи с инвариантностью интервала целесообразно не разделять пространство и время, а рассматривать их вместе как четырехмерное пространство-время. Совокупность четырех величин  будем рассматривать как четырехвектор события (мировой точки) R в пространстве, называемом пространством Минковского, а величину

как квадрат его длины. Квадрат длины R, как следует из сопоставления его с интервалом, является четырехскаляром (инвариантом). Четырехскаляром (инвариантом) в общем случае называется величина, не зависящая от выбора ИСО . В свою очередь четырехвектором называется совокупность четырех величин , которая при переходе из одной ИСО в другую преобразуется так же, как и компоненты четырехвектора события, т.е. для компонент четырехвектора A справедливы прямые (и обратные) преобразования Лоренца

,  ,  ,   ,                      (1а)                         ,  ,  ,   ,                      (1б) где , .

Нетрудно установить, что квадрат длины четырехвектора  является четырехскаляром. Как и интервалы 4-векторы делятся на пространственноподобные () и времениподобные ().

Удобство четырехвекторов состоит в том, что их можно складывать и умножать на числа по правилам, аналогичным правилам действий над векторами в трехмерном пространстве. Точно так же запись  означает равенство соответствующих компонент четырехвекторов, причем равенство  сохраняется в любой другой ИСО, хотя каждая из компонент при переходе в эту ИСО может измениться.

Аппарат четырехвекторов позволяет наиболее просто и единообразно находить законы преобразования кинематических и динамических величин. Особую роль четырехвектора и четырехскаляры приобретают при формулировке фундаментальных законов природы. Согласно принципу относительности объективные законы физики должны сохранять свою форму во всех ИСО. Это условие автоматически выполняется, если они записываются в четырехвекторной или четырехскалярной форме.

Построение четырехвекторов начнем с 4-скорости и 4-ускорения. Движение материальной точки в пространстве Минковского можно описать в виде функциональной зависимости четырех ее координат (времени и трех пространственных координат) от собственного времени тела

 . Естественно тогда определить компоненты 4-скорости как

 . Действительно, указанные величины преобразуются как компоненты 4-вектора, поскольку числитель является дифференциалом четырехвектора, а знаменатель – дифференциалом четырехскаляра. Связь дифференциалов собственного времени и времени в ИСО, относительно которой рассматривается движение, имеет вид

 , где , а  (v – скорость тела). Используя эту связь, раскрываем смысл компонент 4-скорости

 , где  – компоненты обычной трехмерной скорости v, или в компактном виде

 . Квадрат длины 4-скорости является инвариантом равным

 .

4-скорость преобразуется при переходе из одной ИСО к другой согласно формулам (1а). Запишем 4-скорость в K- и K¢-системах соответственно как

,   . На основании преобразований Лоренца (1а)

,  ,  ,   .                    (2) Из последнего равенства (2) следует, что

 . После несложных преобразований остальных выражений (2) получим

 ,   ,   .                         (3) Эти формулы выражают релятивистский закон преобразования скоростей. При малых скоростях ( и ) они переходят, как нетрудно убедиться, в формулы преобразования скоростей классической механики

 ,  ,  , или в векторном виде

 .