Основные положения, касающиеся движения микрочастиц в потенциальных полях

ВВЕДЕНИЕ

Знакомство с современной физикой, в отличие от физики классической, вызывает естественные трудности восприятия основных понятий и идей квантовой механики - этого совершенно нового способа описания состояния микрочастиц и динамических законов, управляющих их движением. 

Законы квантовой механики составляют основную теоретическую базу в изучении строения вещества. Так, опираясь на них, удалось выяснить строение атомов, установить природу химической связи, объяснить периодическую систему элементов, понять строение атомных ядер и свойства элементарных частиц.

Трудности при знакомстве с основами квантовой механики начинаются уже с описания основных характеристик самой микрочастицы, ее физического состояния, и, вообще, возможности задания ее начального и текущего состояния и контроля изменения этого состояния в процессе взаимодействия частицы с окружающими ее телами.

Даже сама возможность использования таких,  казалось бы очевидных понятий, как пространственное положение микрочастицы, его изменение во времени, движение по траектории - для микрочастицы становится проблематичной. Более того, возникает существенное, неожиданное осложнение, связанное с взаимодействием микрочастицы с контролирующим ее движение измерительным прибором. Если в классической физике молчаливо предполагалось, что этим влиянием можно пренебречь, то в квантовой механике, как оказалось, воздействие прибора на микрообъект может радикально изменить его состояние.

Поэтому в теоретическую ткань квантовой механики органично вплетена взаимосвязь величин, характеризующих сами микрочастицы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми приборами.

Настоящая работа, позволит студенту более наглядно познакомиться с удивительными свойствами микрочастиц при их движении и взаимодействии с силовыми физическими полями в самых простых модельных ситуациях.

В процессе подготовки к выполнению работы и при ее непосредственном выполнении студенты приобретают необходимые первоначальные навыки и представления об основных понятиях и этапах решения типичной квантово-механической задачи.

На примере простейших барьерных задач в работе проводится компьютерное моделирование поведения микрочастицы в силовых полях с прямоугольным потенциалом (типа потенциальной ступени или барьера.)

С этой целью вначале студенту предлагается просмотреть демонстрационную программу, в которой моделируется поведение микрочастицы в зависимости от ее массы и энергии и от изменения силового поля, действующего на микрочастицу.

Можно наблюдать, как при варьировании энергии и массы закономерно меняются амплитуды отраженной и проходящей волн и, что особенно важно, наблюдать  типичный квантово - механический эффект - эволюцию осциллирующих функций в экспоненциальные волновые, что соответствует некоторой глубине проникновения Xmax частицы в классически недоступную область.

Прочувствовав механизм возникновения туннельного эффекта, далее, в основной программе, студент уже самостоятельно на примере конкретного задания анализирует изменение состояния частицы и ее движение в двух вариантах силовых полей:

- Потенциальный скачок (ступенька) 

- Потенциальный барьер.

В конце работы студент должен графически проанализировать изменение коэффициентов отражения (R) и прохождения (Т), а для случая потенциального барьера, кроме того, провести графический анализ вероятности просачивания сквозь него (D₁) в зависимости от ширины барьера  - L, массы частицы - mas и энергии частицы (U₀-E).

1 Основные положения, касающиеся движения микрочастиц в потенциальных полях

1.1 Квантово-механическое описание движения частиц в одномерном случае

Рассмотрим одномерный случай.

Тогда динамическое уравнение, решения которого определяют движение микрочастицы, запишется:

где

 (x,t) - волновая функция, описывающая состояние микрочастицы;

m, кг - ее масса;

h  -   постоянная Планка;

U(x,t) - потенциал силового поля, действующего на частицу.

В алгебре решением уравнения называют числа - корни уравнения, которые будучи подставленными в уравнение, обращают его в тождество. Решением дифференциального уравнения называют функцию, которая будучи подставленной в уравнение со всеми своими производными, также обращает его в тождество.

В случае постоянства потенциала решение уравнения (1) имеет вид волн де-Бройля.

где импульс частицы:

А и В произвольные постоянные, которые ищутся из граничных условий. В решении (2) первое слагаемое представляет собой волну, распространяющуюся вправо, а второе - волну, бегущую влево.

Далее рассмотрим два типичных случая движения микрочастицы в поле прямоугольного потенциала.

1.1.2 Потенциальный скачок

Низкий потенциальный скачок ( см. Рисунок 1).

В этом случае энергия частицы больше высоты потенциального скачка (E>U).

Рисунок1 - Решение уравнения Шредингера для случая высокой потенциальной ступеньки

Для стационарного случая (независимости физической ситуации от времени) решение уравнения Шредингера

в соответствии с выражением (2) будет представлено для области слева от х=0 суммой падающей волны и отраженной:

Здесь в отсутствие силового поля в первой области (U=0) согласно (3)

В области справа от x=0 решение будет представлено амплитудой прошедшей волны:

Где

Для того, чтобы задача имела конкретно завершенный вид и имела четкий физический смысл, необходимо в решениях (5-6) найти неопределенные коэффициенты А, В и С. Для нахождения этих коэффициентов используют аксиоматические свойства волновой функции  (x):