Основные положения, касающиеся движения микрочастиц в потенциальных полях, страница 2

-  непрерывность самой функции и ее производных;

-  однозначность волновой функции;

-  ее ограниченность.

Эта процедура называется "сшиванием” волновой функции на границе скачка потенциала.

Что для этого нужно сделать?

Во-первых, нужно приравнять значения волновых функций слева и справа от точки х=0

что дает:

Далее необходимо найти первые производные по х от  и также приравнять их друг другу в точке х=0

что должно привести к выражению:

Система (7-8) легко приводит к решению для коэффициента С:

Физический смысл этого выражения достаточно понятен - оно выражает амплитуду прошедшей волны С через амплитуду падающей А. Соответственно, для коэффициента В будем иметь:

Здесь амплитуда отраженной волны В выражена через амплитуду падающей волны А.

Далее легко найти коэффициент отражения R на прямоугольном потенциале, как отношение интенсивностей отраженной и падающей волн или, соответственно, по статистическому смыслу волновой функции, как отношение квадратов амплитуд этих волн. Тогда из соотношения (10) будем иметь:

Из закона сохранения числа частиц легко получить коэффициент прозрачности потенциальной ступени, если понимать под ним долю потока частиц, прошедших вправо от границы:

Анализ решения

Как видно из соотношения (11), коэффициент отражения R уменьшается до нуля в том случае, если значения P1 и Р₂ сближаются или, иными словами, если различие в свойствах сред слева и справа от границы раздела стирается (выравниваются потенциалы U1 и U₂). Кроме того, коэффициент отражения R стремится к единице (полное отражение) в случае, когда Р₂ стремится к нулю. Можно показать, что свойство отражаться от резких скачков потенциала (вспомним отражение света - потока фотонов в оконном стекле) является чисто квантомеханическим, оно вытекает из волновых свойств материальных частиц.

При нерезком изменении потенциала с изменением расстояния (в сравнении с длиной волны де Бройля) классический эффект отражения также исчезает. Действительно, достаточно быстрые классические частицы, если их кинетическая энергия позволяет вкатиться на потенциальную  "горку", все до единой должны пройти границу раздела областей высокого и низкого потенциала. Поэтому классический коэффициент прозрачности T всегда равен единице и, соответственно, никакого поворота в движении классических частиц в этом случае не должно наблюдаться. Стало быть и классический коэффициент отражения должен быть равен нулю.(R=0).

Высокий потенциальный скачок (E<U).

В классическом случае закон сохранения энергии не позволяет ни одной классической частице оказаться в области, где бы ее потенциальная энергия стала больше первоначальной кинетической. Поэтому все они до одной должны отражаться на границе х=0.

Выясним, что нового вносит в этот вопрос учет волновых свойств микрочастиц.

Методика решения задачи в этом случае включает следующие этапы:

1)  по-прежнему, область пространственной координаты разбивается на две части и в области до границы раздела, т.е. при х<0 уравнение Шредингера (4) остается таким же с U=0, поэтому такими же остаются и решения (5)

2)  серьезным изменениям подвергается уравнение Шредингера для области высокого потенциала (х>0). Здесь (E-U)<0 и второе слагаемое уравнения (4) меняет знак. Однако, если сделать следующую замену обозначений в выражении (6а);

С тем, чтобы сохранить и форму уравнения и его решение прежним, то после этой подстановки (14) в решение (5) получим окончательное решение в виде суммы теперь уже вещественных экспонент: