Корреляционный и регрессионный анализ (Лабораторная работа № 5)

Тема:Корреляционный и регрессионный анализ

1. Линейная регрессия

Линейная зависимость признака y от признака x определяется формулой: y = α + β∙x. Коэффициент α определяет координату точки пересечения прямой с осью Y; его называют также коэффициентом сдвига. Коэффициент β называют коэффициентом наклона. Сама линия называется прямой регрессии.

Выборочные оценки обозначим a и b. Формулы для расчета коэффициентов уравнения регрессии:

          - коэффициент сдвига:

          - коэффициент наклона:

где X, Y – значения переменных для n членов выборки. Вычисления можно упростить, если сначала вычислить b, а затем найти a по формуле:

.

При каждом X существует разброс значений Y со стандартным отклонением σ_Y|X. Выборочной оценкой σ_Y|X служит остаточное стандартное отклонение s_Y|X, которое вычисляется по формуле:

,

где s_X, s_Y – стандартные отклонения X и Y.

          Стандартные ошибки коэффициентов регрессии рассчитываются по следующим формулам:

Для проверки статистической значимости линейной зависимости можно  воспользоваться критерием Стьюдента:

.

Найдем t_α – критические значения t для уровня значимости α и числа степеней свободы ν = n–2. Если |t|>t_α, то зависимость статистически значима.

Условия применимости регрессионного анализа:

1)  линейность связи переменных; перед тем как приступить к расчетам, необходимо нанести данные на график;

2)  нормальность распределения;

3)  изучаемые признаки должны быть количественными.

Пример. Построить графики для приведенных наборов данных. Найти коэффициенты уравнения регрессии и проверить статистическую значимость найденной линейной зависимости.

Перед началом регрессионного анализа следует нанести данные на график, чтобы убедиться в линейной зависимости. Выберите Тип диаграммы – Точечная; в качестве диапазона данных укажите диапазон, в котором содержатся данные по Х и У (в приведенном ниже примере А1:В9). Далее в меню Диаграмма выберите Добавить линию тренда…(тип линейная). На вкладке Параметры отметьте флажками Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации.

Критическое значение t меньше рассчитанного. Таким образом, коэффициент наклона является статистически значимым.

Задание 1. Проведите вышеуказанные вычисления для следующего набора данных. Как повлияло увеличение объема выборки на коэффициенты уравнения регрессии и статистическую значимость линейной зависимости?

Задание 2. Постройте графики для двух наборов данных. Найдите для каждого линию регрессии (с помощью меню Диаграмма). Нанесите полученные прямые регрессии на графики с исходными данными. Почему получились такие результаты? Выполнены ли условия применимости регрессионного анализа; можно ли для второй выборки выразить связь единственной линией регрессии?

Использование пакета Анализ данных.

Пакет Анализ данных позволяет выполнять регрессионный анализ. В меню Сервис выберите команду Анализ данных. Выберите в диалоговом окне Анализ данных функцию Регрессия и нажмите кнопку ОК. Установите параметры анализа в соответствующем диалоговом окне.

- Входной интервал Y и входной интервал Х;

- Отметьте флажком Метки, если в первых ячейках находятся заголовки столбцов;

- Параметры вывода: укажите первую ячейку для вывода результатов.

Результат применения пакета анализа выглядит следующим образом:

          Значения коэффициента сдвига а, его ошибки и доверительные интервалы приведены в строке Y-пересечение. Значения коэффициента наклона b, его ошибки и доверительные интервалы приведены в строке X. По коэффициенту детерминации R² модель можно считать информативной. Фактор X на 88,47% объясняет дисперсию параметра Y. По уровню значимости p=0,0005 модель является значимой.

Задание 3. Проведите вышеуказанные вычисления для данных из задания 1.

Задание 4. Исследуется связь между поглощенной дозой облучения, Гр (Y) и долей аберрантных клеток костного мозга, % (Х) у 15 подопытных животных (белые мыши). Результаты приведены в таблице. С помощью пакета анализа вычислите коэффициенты уравнения линейной регрессии и оцените статистическую значимость коэффициента наклона b.

Задание 5. В таблице представлены результаты трех экспериментов. Нанесите результаты на график. Вычислите коэффициенты линейной регрессии для того эксперимента, где выполняются условия применимости регрессионного анализа.