Механические колебания: Учебно-методическое обеспечение практического занятия

Страницы работы

Фрагмент текста работы

4. Физика колебаний и волн

4.1. механические колебания (2 часа)

4.1.1. Учебная цель занятия

Научить студентов применять следующие понятия и законы: Классический гармонический осциллятор. Гармонические колебания. Частота и период колебаний. Фаза колебаний. Затухающие и вынужденные колебания. Логарифмический декремент затухания. Резонанс.

4.1.2. Методические указания к проведению
занятия

Анализ задач по данной теме начинается с выяснения характера колебательного процесса. Это позволяет написать уравнение, в соответствии с которым движется маятник. Показать, что при незатухающих гармонических колебаниях скорость и ускорение также изменяются во времени по гармоническому закону. Рассмотреть варианты сложения гармонических колебаний и определить характер результирующего колебания. Напомнить, от чего зависит частота собственных колебаний простейших маятников: математического, физического и пружинного. Показать, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются с удвоенной частотой. Рассмотреть характер колебаний при наличии сил сопротивления и показать, что частота затухающих колебаний всегда ниже частоты собственных гармонических колебаний. Рассмотреть вынужденные механические колебания и связанные с ними резонансные явления.

4.1.3. Рекомендуемая литература

[1]   6.1 -  6.7; [7] §3.


4.1.4. ПРИМЕРЫ  РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ

Пример 1. Точка совершает гармонические колебания с частотой  Гц. В момент времени, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение  мм. Написать уравнение колебаний точки с числовыми коэффициентами.

Дано:

Решение

 Гц;

 мм.

 – ?

Первый способ

Уравнение колебаний точки можно записать в виде

,                                           (23.1)

где  – амплитуда колебаний;  – циклическая частота;  – время;  – начальная фаза. По определению амплитуда колебаний

.                                        (23.2)

Циклическая частота  связана с частотой  соотношением

.                                         (23.3)

В момент времени  формула (23.1) принимает вид

,

откуда начальная фаза

,    .

Изменение фазы на  не изменяет значения колеблющейся величины, поэтому можно принять  и тогда

.                                         (23.4)

С учётом равенств (23.2) – (23.4) уравнение колебаний (23.1) примет вид

, мм.

Второй способ

Уравнение колебаний точки можно записать в виде

.                                 (23.5)

В момент времени  формула (23.5) принимает вид

,

откуда начальная фаза

,   .    (23.6)

Изменение фазы на  не изменяет значения колеблющейся величины, поэтому можно принять  и тогда

.

С учётом равенств (23.2), (23.3), (23.6) уравнение колебаний (23.5) примет вид

, мм.


Пример 2. Следует сложить два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями: , см, и , см, где  см;  см;  с;  с;  с. В выбранном масштабе произвести сложение указанных колебаний методом векторных диаграмм в момент времени . Написать уравнение результирующего колебания с числовыми коэффициентами.

Дано:

Решение

;; см;

 см;

 с;

 с;

 с.

 – ?

Преобразуем уравнения

;

.

Сравним их с уравнением, записанным в канонической форме, . Получим, что циклические частоты колебаний одинаковы

.

Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны

;

.

Произведём вычисления

;

;

.

Таким образом, исходные колебания происходят по законам

, см;

, см.

Поскольку складываются гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты, результирующее колебание является гармоническим, совершается в том же направлении и имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания. Уравнение результирующего колебания можно записать в виде

.

Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления нужно фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени .

Изобразим на рис. 24.1 векторы  и , длина которых равна амплитуде колебаний. Для этого отложим отрезки длиной  см и  см под углом º и º к оси

 


Рис. 1

Результирующее колебание будет происходить с той же частотой , что и складываемые колебания. Вектор , длина которого равна амплитуде результирующего колебания, равен векторной сумме  и

.

Согласно теореме косинусов

.

Начальную фазу результирующего колебания можно также определить непосредственно из векторной диаграммы (см. рис. 1).

.

Произведём вычисления

 см;

= 0,735 рад.

Таким образом, уравнение результирующего колебания можно записать в виде

, см.


Пример 3. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых

, см                   , см

где  см; ;  см; . Найти уравнение траектории точки . Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Дано:

Решение

;

;

 см;

;

 см;

.

 – ?

Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (25.1) и (25.2)

;                     (25.1)

.                     (25.2)

Заметив, что  и ,

применим формулу косинуса половинного угла для выражения (25.2)

.              (25.3)

Из выражения (25.1) получим

.                                (25.4)

Подставим выражение (25.4) в уравнение (25.3)

.

После подстановки численных значений получим

, см.                         (25.5)

Последнее уравнение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью X. Как показывают уравнения (25.1) и (25.2), амплитуда колебаний точки по оси X равна 1,00 см, а по оси Y – 2,00 см. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от –1,00 до 1,00 см, а ординаты – от –2,00 до 2,00 см. Для построения траектории найдем по уравнению (25.5) значения , соответствующие ряду значений , удовлетворяющих условию  см:

–1,00  

  0

0

1,41

–0,750

0,707

0,500

1,73

–0,500

  1,00  

  1,00 

2,00

Начертив координатные оси и выбрав единицу длины – сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию результирующего колебания точки (рис. 25.1). Она представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд ABCD. В начальный момент () имеем  см,  см (точка находится в положении ). При  с получим  см и  см (точка находится в положении D). После этого она будет двигаться в обратном направлении.

 


Рис. 25.1

Пример 4. Частица массой  г совершает гармонические колебания с периодом  с. Полная энергия колеблющейся частицы  мкДж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение силы , действующей на частицу.

Дано:

Решение

10×10–3 кг;

 с;

 мкДж =100·10–6 Дж.

 – ?

 – ?

Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением для полной энергии частицы

,

где .

Отсюда амплитуда

.                                       (26.1)

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением , где  – коэффициент квазиупругой силы;  – смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максимальном смещении , равном амплитуде ,

.                               (26.2)

Коэффициент  выразим через период колебаний

.                                 (26.3)

Подставив выражение (26.1) и (26.3) в (26.2) и произведя упрощения, получим

.                (26.4)

Произведём вычисления

 м = 45,0 мм;

 Н = 4,44 мН.


Пример 5. Гиря массой  г подвешена к пружине, коэффициент жёсткости которой  Н/м, и совершает затухающие колебания. Определить их период, если за время двух колебаний () амплитуда уменьшилась в  раз. Записать дифференциальное уравнение затухающих колебаний с числовыми коэффициентами.

Дано:

Решение

 г = 0,50 кг;

 Н/м;

;

;

.

 – ?

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид

,            (27.1)

где  – коэффициент затухания;  – циклическая частота собственных незатухающих колебаний пружинного маятника.

Для записи уравнения необходимо найти значения  и .

Циклическая частота собственных колебаний пружинного маятника

.                                          (27.2)

Амплитуда затухающих колебаний для двух моментов времени

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Физика
Тип:
Методические указания и пособия
Размер файла:
595 Kb
Скачали:
0