Физика \ Физика

Механические колебания: Учебно-методическое обеспечение практического занятия

Страницы работы

12 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Фрагмент текста работы

4. Физика колебаний и волн

4.1. механические колебания (2 часа)

4.1.1. Учебная цель занятия

Научить студентов применять следующие понятия и законы: Классический гармонический осциллятор. Гармонические колебания. Частота и период колебаний. Фаза колебаний. Затухающие и вынужденные колебания. Логарифмический декремент затухания. Резонанс.

4.1.2. Методические указания к проведению
занятия

Анализ задач по данной теме начинается с выяснения характера колебательного процесса. Это позволяет написать уравнение, в соответствии с которым движется маятник. Показать, что при незатухающих гармонических колебаниях скорость и ускорение также изменяются во времени по гармоническому закону. Рассмотреть варианты сложения гармонических колебаний и определить характер результирующего колебания. Напомнить, от чего зависит частота собственных колебаний простейших маятников: математического, физического и пружинного. Показать, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются с удвоенной частотой. Рассмотреть характер колебаний при наличии сил сопротивления и показать, что частота затухающих колебаний всегда ниже частоты собственных гармонических колебаний. Рассмотреть вынужденные механические колебания и связанные с ними резонансные явления.

4.1.3. Рекомендуемая литература

[1] 6.1 - 6.7; [7] §3.

4.1.4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Точка совершает гармонические колебания с частотой Гц. В момент времени, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение мм. Написать уравнение колебаний точки с числовыми коэффициентами.

Дано:

Решение

Гц;

мм.

– ?

Первый способ

Уравнение колебаний точки можно записать в виде

, (23.1)

где – амплитуда колебаний; – циклическая частота; – время; – начальная фаза. По определению амплитуда колебаний

. (23.2)

Циклическая частота связана с частотой соотношением

. (23.3)

В момент времени формула (23.1) принимает вид

откуда начальная фаза

, .

Изменение фазы на не изменяет значения колеблющейся величины, поэтому можно принять и тогда

. (23.4)

С учётом равенств (23.2) – (23.4) уравнение колебаний (23.1) примет вид

, мм.

Второй способ

Уравнение колебаний точки можно записать в виде

. (23.5)

В момент времени формула (23.5) принимает вид

откуда начальная фаза

, . (23.6)

Изменение фазы на не изменяет значения колеблющейся величины, поэтому можно принять и тогда

С учётом равенств (23.2), (23.3), (23.6) уравнение колебаний (23.5) примет вид

, мм.

Пример 2. Следует сложить два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями: , см, и , см, где см; см; с; с; с. В выбранном масштабе произвести сложение указанных колебаний методом векторных диаграмм в момент времени . Написать уравнение результирующего колебания с числовыми коэффициентами.

Дано:

Решение

;; см;

см;

с;

с.

– ?

Преобразуем уравнения

;

Сравним их с уравнением, записанным в канонической форме, . Получим, что циклические частоты колебаний одинаковы

Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны

;

Произведём вычисления

;

Таким образом, исходные колебания происходят по законам

, см;

, см.

Поскольку складываются гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты, результирующее колебание является гармоническим, совершается в том же направлении и имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания. Уравнение результирующего колебания можно записать в виде

Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления нужно фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени .

Изобразим на рис. 24.1 векторы и , длина которых равна амплитуде колебаний. Для этого отложим отрезки длиной см и см под углом º и º к оси

Рис. 1

Результирующее колебание будет происходить с той же частотой , что и складываемые колебания. Вектор , длина которого равна амплитуде результирующего колебания, равен векторной сумме и

Согласно теореме косинусов

Начальную фазу результирующего колебания можно также определить непосредственно из векторной диаграммы (см. рис. 1).

Произведём вычисления

см;

= 0,735 рад.

Таким образом, уравнение результирующего колебания можно записать в виде

, см.

Пример 3. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых

, см , см

где см; ; см; . Найти уравнение траектории точки . Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Дано:

Решение

;

см;

;

см;

– ?

Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (25.1) и (25.2)

; (25.1)

. (25.2)

Заметив, что и ,

применим формулу косинуса половинного угла для выражения (25.2)

. (25.3)

Из выражения (25.1) получим

. (25.4)

Подставим выражение (25.4) в уравнение (25.3)

После подстановки численных значений получим

, см. (25.5)

Последнее уравнение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью X. Как показывают уравнения (25.1) и (25.2), амплитуда колебаний точки по оси X равна 1,00 см, а по оси Y – 2,00 см. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от –1,00 до 1,00 см, а ординаты – от –2,00 до 2,00 см. Для построения траектории найдем по уравнению (25.5) значения , соответствующие ряду значений , удовлетворяющих условию см:


–1,00	0	0	1,41
–0,750	0,707	0,500	1,73
–0,500	1,00	1,00	2,00

Начертив координатные оси и выбрав единицу длины – сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию результирующего колебания точки (рис. 25.1). Она представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд ABCD. В начальный момент () имеем см, см (точка находится в положении ). При с получим см и см (точка находится в положении D). После этого она будет двигаться в обратном направлении.

Рис. 25.1

Пример 4. Частица массой г совершает гармонические колебания с периодом с. Полная энергия колеблющейся частицы мкДж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение силы , действующей на частицу.

Дано:

Решение

10×10^–3 кг;

с;

мкДж =100·10^–6 Дж.

– ?

Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением для полной энергии частицы

где .

Отсюда амплитуда

. (26.1)

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением , где – коэффициент квазиупругой силы; – смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максимальном смещении , равном амплитуде ,

. (26.2)

Коэффициент выразим через период колебаний

. (26.3)

Подставив выражение (26.1) и (26.3) в (26.2) и произведя упрощения, получим

. (26.4)

Произведём вычисления

м = 45,0 мм;

Н = 4,44 мН.

Пример 5. Гиря массой г подвешена к пружине, коэффициент жёсткости которой Н/м, и совершает затухающие колебания. Определить их период, если за время двух колебаний () амплитуда уменьшилась в раз. Записать дифференциальное уравнение затухающих колебаний с числовыми коэффициентами.