«ХАИ»
Интерполирование для таблиц с постоянным шагом
Цель: для функции, заданной таблично, найти приближённое значение в точках x1, x2, x3 и значение производной в точке x4.
Вычислительная схема:
1. Составление таблицы конечных разностей:
Пусть таблица задана с постоянным
шагом
Конечной разностью 1-го порядка называется
Конечной разностью n-го порядка называется
Конечные разности записываются в виде таблицы или треугольной матртцы:
2. Первая интерполяционная формула Ньютона:
,
Формула
используется для интерполирования в начале таблицы.
Погрешность
для первой интерполяционной формулы Ньютона:
,где xÎ(
,
) и
3. Вторая
интерполяционная формула Ньютона:
,
Формула
используется для интерполирования в конце таблицы.
Погрешность
для второй интерполяционной формулы Ньютона:
,где xÎ(
,
) и
4. Интерполяционная формула Гаусса:
Пусть точка интерполирования лежит в середине таблицы между узлами
интерполяции
и
:
,
Погрешность для интерполяционной формулы Гаусса:
,где xÎ(
,
)
и
5. Численное дифференцирование:
Для нахождения производной функцию
приблизительно
заменяем интерполяционным полиномом, построенным на узлах
,¼,
,
:
Погрешность численного дифференцирования
6. Обратное интерполирование:
Задача сводится к нахождению аргумента по заданному значению функции. Для решения задачи используется метод последовательных приближений.
Пусть точка лежит в
середине таблицы между узлами интерполяции
и
Приведём уравнение
к виду :
,
В качестве начального приближения выбираем:
Продолжая процесс итераций, получим:
Процесс итераций продолжаем до тех пор, пока не установятся цифры заданной точности и получим
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.