Интерполирование для таблиц с постоянным шагом

Министерство образования и науки Украины

Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского

«ХАИ»

Отчёт по лабораторной работе №8

Интерполирование для таблиц с постоянным шагом

Цель: для функции, заданной таблично, найти приближённое значение в точках x1, x2, x3 и значение производной в точке x4.

Вычислительная схема:

1.  Составление таблицы конечных разностей:

Пусть таблица    задана с постоянным шагом

Конечной разностью 1-го порядка называется

Конечной разностью n-го порядка называется

Конечные разности записываются в виде таблицы или треугольной матртцы:

2.  Первая интерполяционная формула Ньютона:

   ,

Формула используется для интерполирования в начале таблицы.

Погрешность для первой интерполяционной формулы Ньютона:

,где xÎ(,) и

3.  Вторая интерполяционная формула Ньютона:

,

Формула используется для интерполирования в конце таблицы.

Погрешность для второй интерполяционной формулы Ньютона:

,где xÎ(,) и

4.  Интерполяционная формула Гаусса:

Пусть точка интерполирования  лежит в середине таблицы между узлами интерполяции  и :

,

Погрешность для  интерполяционной формулы Гаусса:

,где xÎ(,) и

5.  Численное дифференцирование:

Для нахождения производной  функцию  приблизительно заменяем интерполяционным полиномом, построенным на узлах ,¼, , :

Погрешность численного дифференцирования

6.  Обратное интерполирование:

Задача сводится к нахождению аргумента по заданному значению функции. Для решения задачи используется метод последовательных приближений.

Пусть точка  лежит в середине таблицы между узлами интерполяции  и

Приведём уравнение

к виду :

,

В качестве начального приближения выбираем:

Продолжая процесс итераций, получим:

Процесс итераций продолжаем до тех пор, пока не установятся цифры заданной точности и получим

.