Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом простой итерации (Лабораторная работа № 2)

Страницы работы

Содержание работы

Лабораторная работа № 2

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ

УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ

Цель работы: изучить метод простой итерации, вычислить приближённо действительный корень для заданных уравнений  методом простой итерации, вычисления проводить с точностью до 10-5.

Постановка задачи

1.  Отделить корни для алгебраического уравнения, для трансцендентного уравнения найти отрезок, содержащий наименьший положительный действительный корень.

2.  Привести уравнения к виду, пригодному для метода итераций.

3.  Уточнить корень для алгебраического уравнения.

4.  Решить задачу уточнения корней методом простой итерации в пакете МATHCAD.

5.  Решить задачу уточнения корня методом простой итерации в среде Microsoft Excel.

6.  Сравнить все полученные результаты. Проверить правильность результатов с помощью встроенных функций пакетов.

Содержание отчета

1.  Постановка задачи.

2.  Теоретические сведения, включая условие сходимости и геометрическую интерпретацию метода итераций.

3.  Приведение заданных уравнений к виду, пригодному для применения метода простой итерации.

4.  Вычисление последовательных приближений  () до выполнения условия  с помощью средств программирования пакетов MATHCAD, Microsoft Excel.

5.  Проверка с помощью встроенных функций пакетов.

 

Теоретические сведения

Пусть дано уравнение

,                                              (2.1)

где  – непрерывная функция. Требуется вычислить действительный корень уравнения, находящийся на отрезке . Приводим заданное уравнение  к эквивалентному виду

   ,                                          (2.2)

где  – некоторая непрерывная на отрезке  функция.

Выбираем произвольное  и подставляем его в правую часть равенства (2.2):

     .

Аналогично получаем итерационную последовательность:

;

;

…………..

.

Доказано, что если итерационная последовательность , , ,…, ,… сходится, то её пределом является корень уравнения (2.2), а значит, и корень уравнения (2.1), так как уравнения (2.1) и (2.2) равносильны.

Для сходимости итерационного процесса достаточно исходное уравнение  привести к виду  так, чтобы выполнялось условие

    ,                                   (2.3)

где . При этом итерационная последовательность сходится независимо от выбора .

Итерации имеют геометрическую интерпретацию. Решение  уравнения (2.2) является абсциссой точки пересечения прямой y = x и кривой y = φ(x). Геометрически видно, что если в окрестности решения  выполняются неравенства 0 < φ’(x) ≤ М < 1, то последовательность {xK} монотонно сходится к , причем с той стороны, с которой расположено начальное приближение (рис. 2.1).

Итер 3

Рис. 2.1. Приближение к корню с одной стороны

В случае −1 < −M ≤ φ’(x) < 0 последовательные приближения расположены поочередно с разных сторон от решения  (рис. 2.2).

Итер 3

Рис. 2.2. Приближение к корню с разных сторон

Уравнение  можно преобразовать к виду  разными способами, лишь бы функция  удовлетворяла условию (2.3). Например, уравнение  заменяем равносильным . В этом случае . Параметр  выбираем так, чтобы ½ при .

Пример 1. Привести уравнение  к виду, пригодному для применения метода итераций. Единственный действительный корень заданного уравнения находится на отрезке , так как , .

Приводим исходное уравнение к виду    .В этом случае . Тогда ,  при .

Таким образом, достаточное условие сходимости итерационного процесса выполняется. Метод итераций применим для решения полученного уравнения. Выбираем произвольное , например, , и начинаем процесс метода итераций.

Пример 2. Привести уравнение  к виду, пригодному для применения метода итераций.

Единственный корень заданного уравнения находится на отрезке . Рассмотренный в примере 1 способ в данном случае неприменим, так как при этом не удовлетворяется достаточное условие сходимости итерационного процесса. Заменяем исходное уравнение равносильным:

.

В этом случае

, .

Параметр  находим из условия ê при , т.е.  или  при . Отсюда . Полагаем, например, . Исходное уравнение преобразуем к виду

,         

причем  при .

Выбираем произвольное . Пусть , вычисляем . Подставляя  в правую часть равенства, получаем  и т.д. Вычисления производим до тех пор, пока выполнится неравенство .

Скорость сходимости итерационного процесса определяется неравенством

,

где  – точное решение уравнения.

Оценка погрешности метода простой итерации записывается в виде    

,

где  – заданная точность решения. В частности, при  и  величина  будет приближенным значением корня  с точностью до , т.е.  .

Пример решения трансцендентного уравнения в пакете MATHCAD

Исходное уравнение:

 

         

 – приведенное уравнение

 – производная

   

        

В качестве параметра можно положить 

Функция, реализующая метод итераций, может быть такой:

Варианты лабораторных работ

Номер

варианта

Уравнение

Номер

варианта

Уравнение

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Методические указания и пособия
Размер файла:
292 Kb
Скачали:
0