Вопросы к коллоквиуму № 1 по курсу "Математический анализ" (Теорема о связи функции с её пределами. Необходимое и достаточное условия постоянства функции)

Теория:

1)Дать определение lim(x->x₀)f(x)=A.Теорема о связи ф.с её пределами.

2)Дать определение lim(x->x₀-0)f(x)=A и lim(x->x₀+0)f(x)=A. Связь между сущ.предела ф.в т. и одностор. пределами.

3)Дать определение lim(x->∞)f(x)=∞, lim(x->∞)f(x)=A, lim(x->∞)f(x)=0. Геометрич.смысл.

4)Понятие ф.,ограниченной в интервале и в окрестности т.Понятие ф.неограниченной.Теорема об ограниченности ф.,имеющей предел в т.

5)Понятие последовательности. Дать определение предела последовательности. Геометрич.смысл. Признак сущ.предела последовательности. II замечательный предел.

6)Сравнение б/м. Символы о и О. Эквивалентные б/м. Порядок малости.

7)Основные эквивалентные при x->0.

8)Дать определение ф., непрерывной в т.x₀.

9)Понятие ф., непрерывной слева и справа в т. x₀. Понятие ф.,непрерывной в интервале и на отрезке.

10)Теоремы об алгебраических действиях с непрерывными ф.Непрерывность сложной ф.

11)Дать определение ф.,непрерывной в т.x₀. Геометр.смысл.Непрерывность элементарных ф.

12)Точки разрыва и их классификация.

13)Свойства ф.,непрерывных на отрезке.

14)Понятие производной.Геометр. и механич. смысл её. записать уравнение касательной и нормали к кривой в т. с абсциссой x₀.

15)Понятие ф.,дифференцируемой в т.x₀. Понятие дифференциала. Геометр.смысл.

16)Дать определение min и max ф. Необходимое условие сущ.экстремума ф.

17)Определение выпуклой и вогнутой кривой в интервале, точки перегиба. Правило нахождения т.перегиба.

18)Определение асимптоты кривой.Условие сущ.вертикальной асимптоты.Формулы для нахождения углового коэффициента и начальной ординаты наклонной асимптоты.

19)Дать определение lim(x->x₀)f(x)=∞, lim(x->x₀)f(x)=0. Свойства б/м.

20)Дать определение б/м ф.в т.x₀. Свойства б/м.

21)Дать определение lim(x->x₀)f(x)=А. Признак сущ.предела ф.

22) Теоремы об алгебраических действиях с пределами.

23)Дать определение эквивалентных б/м. Теоремы об эквивалентных б/м.

24) Теорема о непрерывности ф., имеющей производную. Связь между дифференцируемостью ф. в т. и сущ.производной.

25)Дать определение дифференциала ф. Формула приближённых вычислений с помощью дифференциала.

26) Теорема Роля, Лагранжа. Геом.смысл.

27)Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей 0∞,∞-∞.

28)Необходимые и достаточные условия монотонности ф.в интервале.

29)Достаточные условия(с помощью I и II производных)сущ.экстремума.

30)Достаточные условия выпуклости(вогнутости)кривой в интервале, достаточные условия сущ.т.перегиба.

Док:

1)Теорема о связи б/м и б/б ф. и теорема об ограниченности ф., имеющей предел в т.

2)Теорема о свойствах б/м ф.

3)Прямая и обратная теоремы о связи ф. с её пределом.

4)Признак сущ. предела ф.(о двух милиционерах)

5)Теорема о пределе суммы и произведения двух ф.

6)Теорема о пределе сложной ф.

7)I замечательный предел.

8)Теоремы об эквивалентных б/м

9)Теорема о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных ф.

10)Вывести формулы для нахождения производной сложной и обратной ф.

11)Вывести формулы для нахождения производных ф. sinx; cosx; tgx; ctgx

12)Вывести формулы для нахождения производных ф. arcsinx; arccosx; arctgx; arcctgx

13) Вывести формулы для нахождения производных суммы, произведения, частного 2-ух функций.

14)Необходимое и достаточное условия дифференцируемости ф. Теорема о непрерывности ф., имеющей производную.

15)Теорема Ролля.Геом.смысл

16)Теорема Лагранжа.Геом.смысл.Формулы конечных приращений

17)Теорема Коши.

18)Правило Лопиталя.

19)Необходимое условие возрастания(убывания)ф.

20)Достаточное условие возрастания(убывания)ф.

21)Необходимое условие сущ. экстремума.

22)Достаточное условие сущ. экстремума ф.(с помощью I производной)

23)Достаточное условие сущ. экстремума ф.(с помощью II производной)

24)Вывести формулы для нахождения производных ф. y=a^x; y=e^x; y=log_ax; y=lnx

25)Эквивалентность dy и ∆y. Формула приближённых вычислений с помощью дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

26)Нахождение ассимтот

27)Логарифмическое дифференцирование. Производная степенной и показательно-степенной ф.

28)Достаточное условие выпуклости(вогнутости) кривой в интервале. Нахождение точек перегиба

29)Доказать, что при x->0 ф. arcsinx;arctgx;e^x-1;ln(1+x) эквивалентны x

30)Необходимое и достаточное условия постоянства ф.