Ответы на экзаменационные вопросы № 1-25 по дисциплине "Математический анализ" (Первообразная функция на интервале. Вычисление интегралов в декартовых координатах)

(1)Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если в любой точке х интервал (a,b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F’(x), равную f(x).

Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом  ∫f(x)dx.

Свойства неопределённого интеграла:

1)(∫f(x)dx)’=f(x)

Док-во: (∫f(x)dx)’=(F(x)+c)’=f(x)

2)Знак дифференциала перед знаком интеграла уничтожает последний: d∫f(x)dx=f(x)dx

Док-во: d∫f(x)dx=(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx

3)Знак интеграла перед знаком дифференциала уничтожает последний, но при этом вводится произвольное постоянное слагаемое: ∫dF(x)=F(x)+C

Док-во: ∫dF(x)=∫f(x)=F(x)+C

4)Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫аf(x)dx=a∫f(x)dx

Док-во: (∫af(x)dx)’=af(x); (a∫f(x)dx)’=a(∫f(x)dx)’=af(x)

5)Неопределённый интеграл алгебраической суммы равен сумме интегралов от каждого слагаемого в отдельности: (∫(f(x)±φ(x))dx)’ = f(x)±φ(x); (∫f(x)dx±∫φ(x)dx)’=f(x)±φ(x)

(2) 1)∫UdV=UV-∫VdU

Док-во: d(UV)=UdV+VdU; UV=∫UdV+∫VdU; ∫UdV=UV-∫VdU

2) 

Док-во: d(UV)=UdV+VdU;  

(3) 1)Теорема: Пусть функция t=φ(x) будет определена и имеет непрерывную производную φ’(x) на некотором множестве Х. Т-множество значений функции. Тогда, если для функции g(t), первообразная будет G(t), то для функции g(φ(x))φ’(x), первообразная будет G(φ(x)).

Док-во: Для док-ва этого утверждения достаточно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции:

                                            и учесть, что по определению первообразной G’(t)=g(t).

2)Терема: Если функция f(x) непрерывна на [a,b], а функции φ(t), φ’(t) непрерывны на [α,β], причём a=φ(α), b=φ(β), тогда

Док-во: F(x) – первообразная для f(x), тогда F(φ(t)) будет первообразной для f(φ(t))∙φ’(t).

(F(φ(t)))_t’=F’(φ(t))∙φ’(t)=f(φ(t))∙φ’(t);

(4) 1)Рациональным корнем R(x) или дробно-рациональной функцией называется функция R(x) = P_n(x) / Q_m(x). Если n≥m, то дробь неправильная. 2)Всякую правильную рациональную дробь R(x)=P(x)/Q(x) можно представить в виде суммы простейших дробей четырёх типов:

Это разложение зависит от разложения знаменателя на множители:

Q(x)=(x-a)^k…(x-b)^l(x²+px+q)^m…(x²+rx+s)ⁿ;

Если R(x) – неправильная дробь, то нужно разделив числитель на знаменатель, представить дробь как сумму многочлена (целая часть) и правильной дроби.

3)

(5)I.

II.

(6)1)I. ∫R(x,x^r1/s1,x^r2s2,…,x^rn/sn)dx=∫R(t^N,t^r1∙a1,…,t^rn∙an)Nt^N-1

Обозначим наименьший общий знаменатель r1/s1,r2/s2,…rn/sn через N:

N(ri/si)=ri∙ai; x^{ri / si} = (t^N)^{ri / si} = t^ri∙a

Теперь каждая дробная степень t выражается через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

II.

                                                                           - интеграл сводится к

(7)Криволинейной трапецией называется фигура, которая снизу ограничена осью Ox, сверху графиком функции y=f(x), а слева и справа прямыми x=a, x=b

ΔS_i=f(E_i)∙(x_i-x_i-1);

Найти площадь криволинейной трапеции.

Дано: 1)x€[a,b]; 2)f(x)-ограниченная

Решение: 1)Разобьём отрезок [a,b] на n-частей; a=x₀<x₁<…<x_n=b_j;

x_i-x_i-1=Δx_i  2)Ei €[x_i-1,x_i],i=от1,до n; 3)f(Ei),i=от1, до n;

4)f(Ei)Δx_i,i=от1,до n;

 

Криволинейным сектором называется плоская фигура, ограниченная кривой L и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы α и β.(!)

(8)

                                                                      

Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения [a,b] на части и выбора точки Ei, то он называется определённым интегралом от функции f(x) на [a,b]. Обозначение: ∫^b_af(x)dx, x – переменная интегрирования, f(x) – подынтегральная функция, a и b – пределы интегрирования. С точки зрения геометрии, определённый интеграл ∫^b_af(x)dx – это площадь криволинейной трапеции. Функция f(x) называется интегрируемой на [a,b], если существует определённый интеграл.

                                                                     (*)

Если для функции f(x) предел (*) существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке [a,b].

Классы интегрируемых функций:

1)функция, непрерывная на [a,b], интегрирована на этом отрезке.

2)функция, кусочно-интегрированная на [a,b] (имеющие конечное число точек разрыва I рода), интегрируемы на [a,b].

(9)Свойства определённого интеграла:

1)Если функции  f(x) и g(x) интегрируем на сегменте [a,b], то функции