Понятие экстремума функции двух переменных. Вычисление интегралов в декартовых координатах

(20)A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

Уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(x₀,y₀,z₀) можно записать как z-z₀=A(x-x₀)+B(y-y₀).

(21)Понятие экстремума ф. двух переменных:

Функция z=f(x,y) имеет максимум(минимум) в точке М₀(x₀,y₀), если f(x₀,y₀)>f(x,y) (f(x₀,y₀)<f(x,y)) для всех точек (x,y) в окрестности этой точки.

Необходимое условие существования экстремума:

Если z=z(x,y) имеет в точке M₀(x₀,y₀) экстремум, то обе  частные производные в этой точке либо равны 0, либо не существуют.

Док-во:

Рассмотрим функцию z=z(x,y)

z=z(x,y₀)

Мы получили функцию одной переменной х, которая при х=х⁰ имеет экстремум, тогда 

Аналогично можно доказать, что  

Достаточное условие существования экстремума:

Если функция z=z(x,y) удовлетворяет следующим условиям:

(25)вычисление ∫∫∫ в декартовых координатах

Пусть область V будет правильной в направлении оси Oz.