Определения функций (элементарной, алгебраической, ограниченной на множестве, непрерывной на интервале)

Функция называется элементарной, если она получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа действий и взятия функции от функции.

Функция называется алгебраической, если она получена из Х с помощью действий +,-,*,/ и возведения в рациональную степень.

Функция не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.

lim x->x₀ f(x)=Aóдля любого ξ>0 существует δ>0

δ окрестностью точки х₀: О(х₀,δ) – множество х, удовлетворяющих следующему неравенству х₀-δ<x<x₀+δ

Односторонние пределы:

lim x->x₀+0=Aóдля любого ξ>0 существует δ>0 так что 0<x-x₀<δ =>|f(x)-A|<ξ

lim x->x₀-0=Aóдля любого ξ>0 существует δ>0 так что 0<x₀-x<δ =>|f(x)-A|<ξ

Функция называется б/м в точке х₀, если lim x->x₀ f(x)=0 (lim x->x₀ f(x)=0óдля любого ξ>0 существует δ>0 так что 0<|х-x₀|<δ =>|f(x)|<ξ)

Функция называется б/м при х->∞, если lim x->∞ f(x)=0 (lim x->∞ f(x)=0óдля любого ξ>0 существует N>0 так что |х|>N =>|f(x)|<ξ)

Функция называется б/б в точке х₀, если lim x->x₀ f(x)= ∞ (lim x->x₀ f(x)= ∞óдля любого M>0 существует δ>0 так что 0<|х-x₀|<δ =>|f(x)|>M)

Функция называется б/б при х->∞, если lim x->∞ f(x)= ∞ (lim x->∞ f(x)= ∞óдля любого M>0 существует N>0 так что |х|>N =>|f(x)|>M)

Функция F(x) называется ограниченной на множестве Х, если существует М>0 для любого х€Х, |F(x)|≤M

Функция F(x) называется ограниченной в δ окрестности, если существует М>0 для любого х€О(х₀,δ), |F(x)|≤M

Функция не являющаяся ограниченной на множестве Х, является неограниченной на этом множестве.

Последовательностью называется функция натурального аргумента.

Сравнить две б/м ά и β – это значит найти lim ά/β

Функция y=F(x) называется непрерывной в точке х₀, если 1)она определена в этой точке и некоторой её окрестности; 2)lim x->x₀ f(x)=f(x₀)

Функция F(x) называется непрерывной слева (справа) в точке х₀, если 1)она определена в точке х₀ и в левой (правой) полуокрестности; 2)lim x->x₀±0 f(x)=f(x₀)

Функция называется непрерывной на интервале (a,b), если она непрерывна во всех точках этого интервала

Функция называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, в точке а справа и в точке b слева

Разрыв I рода называется устранимым, если односторонние пределы равны, если не равны, то разрыв называется неустранимым и разница между этими неравными односторонними пределами называется скачком функции

r≥0        r=√(x²+y²); φ=arctg(y/x)

x=rcosφ; y=rsinφ

x(x->x₀)~sinx, arcsinx, tgx, arctgx, e^x-1, ln(1+x)

1-cosx(x->0)~x²/2; a²-1~x-lna; (1+x)^m-1(m€R)~mx